✨ 핵심만정리

다각형 모양의 탁자에 사람을 배열하는 경우의 수는 두 가지 방법으로 생각할 수 있어요!

🎨 개념정리: 탁자가 원이 아니라면?

지난 시간에 원탁에 둘러앉는 원순열에 대해 배웠죠? 오늘은 거기서 한 단계 더 나아가, 정삼각형이나 정사각형처럼 각진 탁자에 둘러앉는 경우를 생각해 볼게요. 이것을 다각형 순열이라고 해요.

📝 예시: 6개의 보석을 정삼각형 진열대에!

서로 다른 보석 6개(A, B, C, D, E, F)를 정삼각형 모양의 진열대에 한 변에 2개씩 진열한다고 해볼까요?

방법 1: 원순열을 이용하는 방법

1. 일단 원이라고 생각해요!
   먼저 6개의 보석을 원형으로 배열하는 경우의 수를 구해요. 원순열 공식 (n-1)!을 사용하면,
   (6-1)! = 5! = 120가지 경우가 나와요.
2. 자리의 ‘차이점’을 찾아요.
   원탁은 모든 자리가 똑같았지만, 정삼각형 탁자는 달라요. 각 변의 모서리 쪽 자리와 가운데 쪽 자리는 서로 다른 위치죠.
   하나의 원순열 배열(예: A-B-C-D-E-F)을 가져와서 A를 모서리에 놓았을 때와 가운데에 놓았을 때는 회전해도 서로 겹치지 않는 다른 경우가 돼요. 이렇게 겹치지 않는 자리가 2가지 생겨요.
3. 두 결과를 곱해줘요.
   원순열의 각 경우마다 2가지씩 다른 경우가 생기므로, 총 경우의 수는 두 숫자를 곱하면 돼요.
   

   120 (원순열의 수) × 2 (겹치지 않는 자리 수) = 240가지

방법 2: 전체 순열에서 나누는 방법

1. 일단 일렬로 세워요!
   6개의 보석을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! = 720가지예요.
2. 같아지는 경우를 찾아요.
   정삼각형 탁자는 120도씩 3번 회전하면 제자리로 돌아와요. 즉, 어떤 배열을 120도씩 돌리면 똑같은 모양이 3번 나온다는 뜻이에요.
   예를 들어, 일렬로 (A-B-C-D-E-F), (C-D-E-F-A-B), (E-F-A-B-C-D)는 모두 진열대에 놓으면 같은 모양이 된답니다.
3. 전체 경우를 나눠줘요.
   따라서 전체 일렬 나열 경우의 수를 같아지는 경우의 수(3)로 나누면 돼요.
   

   720 (전체 순열) / 3 (회전 시 같아지는 수) = 240가지

어떤 방법으로 풀어도 답은 똑같죠? 여러분이 더 편한 방법으로 풀면 된답니다!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 8명의 학생이 정사각형 모양의 탁자에 한 변에 2명씩 둘러앉는 경우의 수를 구해보세요.

풀이 (방법 1 사용):

1. 원순열 계산: 먼저 8명을 원탁에 앉히는 경우를 계산해요.
   (8-1)! = 7! = 5040가지
2. 겹치지 않는 자리 찾기: 정사각형의 한 변에 2명이 앉을 때, ‘왼쪽 자리’와 ‘오른쪽 자리’는 서로 다른 자리예요. 즉, 회전시켜도 겹치지 않는 자리는 2가지가 있어요.
3. 곱하기: 따라서 총 경우의 수는 원순열의 수에 2를 곱해주면 돼요.
   

   5040 × 2 = 10080가지

정사각형 탁자에는 총 10080가지 방법으로 앉을 수 있네요!

💡 참고: 원순열과 다각형 순열의 차이

원순열은 모든 자리가 회전하면 똑같다고 보는 ‘완전 대칭’ 상태예요. 하지만 다각형 순열은 ‘모서리’처럼 특별한 자리가 생기기 때문에 원순열보다 경우의 수가 더 많아진다는 점을 기억해주세요. 자리가 구별되느냐 아니냐가 핵심 포인트랍니다!