⭐ 핵심만정리

지수가 실수 전체로 확장되면서 등장한 새로운 함수, ‘지수함수’를 소개합니다! 🚀

• 지수함수란? 밑 a가 1이 아닌 양수일 때 (a > 0, a ≠ 1), 실수 x에 대하여 a^x의 값은 하나로 정해져요. 이때 y = a^x를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요.
• 밑(a)의 조건이 중요한 이유:
  • a=1이면 y = 1^x = 1이 되어 상수함수가 되므로 지수함수에서는 제외해요.
  • a≤0이면 x값에 따라 함숫값이 정의되지 않거나 복소수가 될 수 있어서 실수 범위의 함수로 다루기 어려워요.

지수함수는 x의 값에 따라 y값이 어떻게 변하는지 살펴보는 재미있는 함수랍니다! 😉

📚 개념정리

안녕, 수학 모험가 친구들! 🗺️ 우리가 지수의 세계를 양의 정수에서 시작해서 0, 음의 정수, 유리수, 그리고 마침내 실수 전체로 확장했었죠? 이렇게 지수가 실수 전체로 넓어지면서, 이 지수를 변수로 하는 아주 특별하고 중요한 함수가 등장하게 돼요. 그 이름은 바로 지수함수! 오늘은 이 지수함수가 무엇인지 함께 알아봅시다! 😊

지수함수가 뭐길래? y = a^x의 등장! ✨

밑 a가 1이 아닌 양수 (a > 0, a ≠ 1)일 때, 우리가 배운 것처럼 모든 실수 x에 대하여 a^x의 값은 단 하나로 딱! 정해져요. (예를 들어 x가 2이면 a², x가 -1.5이면 a^-1.5처럼요.)

이렇게 실수 x에 a^x라는 값이 하나씩 대응되니까, 이것을 하나의 함수로 생각할 수 있겠죠? 이 함수를 바로 “a를 밑으로 하는 지수함수”라고 부르고, 식으로 쓰면 다음과 같아요.

y = a^x (단, a > 0, a ≠ 1)

여기서 x는 정의역의 원소(모든 실수), y는 그에 대응하는 함숫값(치역의 원소, 항상 양수)이 된답니다.

왜 밑 a는 1이 아니고 양수여야 할까요? 🤔

지수함수를 정의할 때 밑 a에 “1이 아닌 양수”라는 조건이 붙는 이유가 궁금하죠? 한번 살펴봅시다!

• 만약 a = 1이라면?
  y = 1^x이 되는데, 1은 아무리 거듭제곱해도 항상 1이죠? (1²=1, 1^-3=1, 1^0.5=1 …) 그래서 y = 1이라는 상수함수가 되어버려요. 이건 우리가 생각하는 지수함수의 다양한 변화를 보여주지 못하기 때문에 지수함수에서는 밑이 1인 경우는 제외한답니다.
• 만약 a = 0이라면?
  y = 0^x에서 x > 0이면 y=0이지만, x ≤ 0이면 값이 정의되지 않거나 문제가 생겨요. (예: 0^-1 = 1/0은 정의 불가!)
• 만약 a < 0 (음수)라면?
  예를 들어 y = (-2)^x를 생각해 볼까요?
  • x=2이면 y = (-2)² = 4
  • x=3이면 y = (-2)³ = -8
  • x=1/2이면 y = (-2)^1/2 = √-2. 어? 이건 실수가 아니죠! (허수예요)
  이렇게 밑이 음수면 x값에 따라 함숫값이 양수였다 음수였다 하기도 하고, 실수가 아닌 값이 나오기도 해서 일관된 함수로 다루기가 어려워요.

그래서 지수함수에서는 밑 a가 0보다 크고(a>0), 1이 아닌(a≠1) 경우만 생각한답니다! 이 조건을 만족하면 모든 실수 x에 대해 a^x 값은 항상 양수가 돼요.

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✅ 개념확인

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💡 참고