250 상용로그의 정수와 소수 부분: 자릿수와 숫자 배열의 비밀!

250 상용로그의 정수와 소수 부분 🔍: 자릿수와 숫자 배열의 비밀!

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⭐ 핵심만정리

상용로그 log N의 값을 n + α (n은 정수, 0 ≤ α < 1) 꼴로 나타낼 때, n을 ‘정수 부분’, α를 ‘소수 부분’이라고 해요. 이 둘은 진수 N에 대한 놀라운 정보를 담고 있답니다! 🤫

정수 부분 (n)의 비밀: 진수 N의 자릿수를 알려줘요!
- n ≥ 0 일 때: N은 정수 부분이 (n+1)자리인 수예요.
- n < 0 일 때: N은 소수점 아래 -n째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 수예요.
소수 부분 (α)의 비밀: 진수 N의 숫자 배열을 알려줘요!
- 숫자의 배열이 같고 소수점의 위치만 다른 양수들의 상용로그는 소수 부분이 모두 같아요.

예를 들어, log 351 = 2.5453이라면 정수 부분은 2, 소수 부분은 0.5453이에요. 정수 부분이 2이므로 351은 (2+1)=3자리 수이고, log 35.1 = 1.5453, log 3.51 = 0.5453 처럼 소수점 위치만 다른 수들은 소수 부분이 0.5453으로 모두 같답니다!

📚 개념정리

안녕, 로그 탐정 친구들! 🕵️‍♀️ 오늘은 상용로그 값이 우리에게 어떤 비밀 정보를 알려주는지, 특히 그 값을 ‘정수 부분’과 ‘소수 부분’으로 나누었을 때 어떤 재미있는 사실을 알 수 있는지 탐구해 볼 거예요! 마치 암호를 해독하는 것처럼 흥미진진할 거랍니다! 😊

상용로그의 정수 부분과 소수 부분이란? 🧐

어떤 양수 N에 대한 상용로그 log N의 값은 항상 n + α 꼴로 나타낼 수 있어요. 여기서,

n은 정수이고, 이것을 상용로그의 정수 부분이라고 해요.
α는 0보다 크거나 같고 1보다 작은 소수 (0 ≤ α < 1)이고, 이것을 상용로그의 소수 부분이라고 한답니다.

이것은 어떤 양수 N이든 N = a × 10ⁿ (단, 1 ≤ a < 10이고 n은 정수) 꼴로 표현할 수 있기 때문이에요. 이 식의 양변에 상용로그를 취하면,
log N = log(a × 10ⁿ) = log a + log 10ⁿ = log a + n
여기서 n이 정수 부분, log a가 소수 부분이 되는 거죠! (1 ≤ a < 10이므로 0 ≤ log a < 1이거든요. )

정수 부분(n)이 알려주는 비밀: 진수 N의 자릿수! 📏

상용로그의 정수 부분 n은 원래 수 N의 크기, 즉 자릿수에 대한 정보를 담고 있어요!

n ≥ 0 (정수 부분이 0 또는 양의 정수일 때):
진수 N은 정수 부분이 (n+1)자리인 수예요.
예) log N = 2.xxxx 이면, 정수 부분 n=2이므로 N은 2+1=3자리 정수랍니다. (100 ≤ N < 1000)
n < 0 (정수 부분이 음의 정수일 때):
진수 N은 1보다 작은 양수로, 소수점 아래 -n째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 수예요.
예) log N = -2.xxxx 와 같이 계산되었다면, 이것은 log N = -3 + 0.yyyy 꼴로 바꿔서 정수 부분 n=-3으로 봐야 해요! 그러면 N은 소수점 아래 -(-3)=3째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 거죠. (0.00xxxx…)

소수 부분(α)이 알려주는 비밀: 진수 N의 숫자 배열! 🔢

상용로그의 소수 부분 α는 원래 수 N의 숫자 배열에 대한 정보를 담고 있어요! 정말 신기하죠?

숫자의 배열이 같고 소수점의 위치만 다른 양수들의 상용로그 값은 소수 부분이 모두 똑같답니다!

예를 들어, log 3.51 = 0.5453 이라고 해봐요. (소수 부분은 0.5453)

log 35.1 = log (3.51 × 10¹) = log 3.51 + log 10¹ = 0.5453 + 1 = 1.5453 (소수 부분 0.5453)
log 351 = log (3.51 × 10²) = log 3.51 + log 10² = 0.5453 + 2 = 2.5453 (소수 부분 0.5453)
log 0.351 = log (3.51 × 10^-1) = log 3.51 + log 10^-1 = 0.5453 – 1 = -0.4547.
어? 소수 부분이 음수가 되었네요! 이럴 땐 정수 부분과 소수 부분을 다시 정리해야 해요.
-0.4547 = -1 + (1 – 0.4547) = -1 + 0.5453.
따라서 정수 부분은 -1, 소수 부분은 0.5453이에요!

보시다시피 3, 5, 1이라는 숫자 배열이 같으면 상용로그의 소수 부분도 0.5453으로 모두 똑같죠? 😉

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✅ 개념확인

✏️ 문제 1: log 5.67 = 0.7536임을 이용하여 다음 상용로그의 값을 n + α (n은 정수, 0 ≤ α < 1) 꼴로 나타내고, n과 α의 값을 구하시오.

(1) log 567

(2) log 0.0567

(숫자 변경: log 2.46 = 0.3909)

💡 풀이 1:

주어진 log 5.67 = 0.7536을 이용해요! 소수 부분은 0.7536이겠네요.

(1) log 567

567 = 5.67 × 100 = 5.67 × 10²

log 567 = log (5.67 × 10²) = log 5.67 + log 10² = 0.7536 + 2

따라서 n = 2, α = 0.7536 입니다. (567은 2+1=3자리 수 맞죠?)

(2) log 0.0567

0.0567 = 5.67 × 0.01 = 5.67 × 10^-2

log 0.0567 = log (5.67 × 10^-2) = log 5.67 + log 10^-2 = 0.7536 – 2

여기서 정수 부분은 -2, 소수 부분은 0.7536이므로 n = -2, α = 0.7536 입니다. (0.0567은 소수점 아래 -(-2)=2째 자리에서 처음 0 아닌 숫자 5가 나타나죠?)

✏️ 문제 2: log 4.32 = 0.6355일 때, 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 성질을 이용하여 다음 값을 구하시오.

(1) log 4320

(2) log 0.00432

(숫자 변경: log 5.41 = 0.7332)

💡 풀이 2:

4320과 0.00432는 4.32와 숫자 배열이 같으므로, 이들의 상용로그 소수 부분은 모두 0.6355예요.

(1) log 4320

4320은 정수 부분이 네 자리인 수이므로 (n+1=4), log 4320의 정수 부분 n은 3입니다.

따라서 log 4320 = 3 + 0.6355 = 3.6355 입니다.

(2) log 0.00432

0.00432는 소수점 아래 셋째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자 4가 나타나므로, log 0.00432의 정수 부분 n은 -3입니다.

따라서 log 0.00432 = -3 + 0.6355 = -2.3645 입니다.