⭐ 핵심만정리

로그 계산을 한 단계 업그레이드 시켜줄 특별한 성질들을 만나보세요! (단, 밑 a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, 진수는 항상 >0, m, n은 실수이고 m ≠ 0 이어야 해요!)

• ① 밑과 진수 바꾸면 역수 관계!: log_ab × log_ba = 1 (단, b ≠ 1)
  (이것은 log_ab = 1 / log_ba 와 같아요!)
• ② 밑과 진수의 지수는 앞으로!: log_a^mbⁿ = nmlog_ab
  (밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 나와요!)
• ③ 지수에 로그가 있을 때 (밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 쏙!): a^log_ab = b
• ④ 지수에 로그가 있을 때 (밑과 진수 자리 바꾸기 가능!): a^log_cb = b^log_ca

이 공식들을 잘 활용하면 복잡해 보이는 로그 계산도 훨씬 간결하게 해결할 수 있답니다! 🛠️

📚 개념정리

안녕, 로그 마법 학교의 고급반 친구들! 🎓 지난 시간에 배운 로그의 기본 성질에 이어, 오늘은 로그 계산을 더욱 강력하고 빠르게 만들어 줄 특별한 성질들을 추가로 배워볼 거예요. 이 성질들은 밑 변환 공식과 로그의 정의를巧妙하게 활용한 결과랍니다. 함께 마법 주문을 외워볼까요? 😉

(단, 앞으로 나오는 모든 로그의 밑 a, c는 >0, ≠1 조건을 만족하고, b와 진수들은 >0 조건을 만족한다고 약속할게요! m, n은 실수이고, 밑의 지수인 m은 0이 아니에요.)

1. log_ab × log_ba = 1 : 밑과 진수를 바꾸면 역수! 🔄

이 성질은 지난 시간에 배운 밑 변환 공식 log_xy = 1 / log_yx 와 사실상 같은 말이에요!
log_ba를 밑 변환 공식으로 밑을 a로 바꾸면 (log_aa) / (log_ab) = 1 / log_ab가 되죠?
따라서 log_ab × (1 / log_ab) = 1 이 성립한답니다! (단, b ≠ 1 이어야 log_ba가 정의돼요.)

2. log_a^mbⁿ = (n/m)log_ab : 밑과 진수의 지수는 앞으로 쏙! 🌬️

로그의 밑이나 진수에 거듭제곱이 있을 때, 그 지수들을 로그 앞으로 꺼낼 수 있어요!

• 진수의 지수 n은 분자로 나와요. (이건 지난 시간에 배운 log_aM^k = k log_aM과 같죠?)
• 밑의 지수 m은 분모로 나온답니다!

이것은 밑 변환 공식을 이용해서 증명할 수 있어요. log_a^mbⁿ의 밑을 a로 변환하면,
= (log_abⁿ) / (log_aa^m) = (n log_ab) / (m log_aa) = (n log_ab) / m = (n/m)log_ab 가 된답니다!

3. a^log_ab = b : 지수와 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다! ✨

어떤 수 a의 지수 자리에 밑이 똑같은 a인 로그가 있다면, 그 결과는 바로 로그의 진수 b가 돼요! 마치 지수와 로그가 서로를 상쇄시키는 것 같죠?
이것은 로그의 정의 x = log_aN ⇔ a^x = N에서 x 자리에 log_ab를 대입하면 바로 이해할 수 있어요. a^(log_ab) = b가 되는 거죠!

4. a^log_cb = b^log_ca : 지수 위의 로그, 밑과 진수 자리 체인지! 🎭

지수 자리에 있는 로그의 밑(c)과 원래 식의 밑(a)이 다를 때, 원래 식의 밑 a와 지수 위 로그의 진수 b는 서로 자리를 바꿀 수 있어요! 단, 지수 위 로그의 밑 c는 그대로 유지된답니다.

이것도 양변에 밑이 c인 로그를 취해서 증명할 수 있어요.
x = a^log_cb라고 하면, log_cx = log_c(a^log_cb) = (log_cb)(log_ca).
한편, y = b^log_ca라고 하면, log_cy = log_c(b^log_ca) = (log_ca)(log_cb).
결국 log_cx = log_cy이므로 x = y, 즉 a^log_cb = b^log_ca가 성립해요!

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✅ 개념확인

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💡 참고