⭐ 핵심만정리

로그 계산할 때 밑이 달라서 불편했죠? 이제 걱정 마세요! ‘밑 변환 공식’ 하나면 어떤 밑으로든 변신 가능! 🪄 (단, 원래 밑 a > 0, a ≠ 1, 새로운 밑 b > 0, b ≠ 1, 진수 N > 0 이어야 해요!)

• 밑 변환 공식 (가장 중요! ⭐): log_aN = log_bNlog_ba
  (원래 로그의 진수는 새 로그의 분자로, 원래 로그의 밑은 새 로그의 분모로 쏙!)
• 특별한 경우 (밑과 진수를 바꾸면 역수!): log_ab = 1log_ba (단, b ≠ 1 추가 조건 필요)

이 공식들을 이용하면 밑이 다른 여러 로그들을 같은 밑으로 통일해서 계산할 수 있게 된답니다! 마치 외국어를 번역하는 것처럼요! 🌐

📚 개념정리

안녕, 로그 마법 학교 학생들! 🧑‍🏫 오늘은 로그 계산의 아주 강력한 마법 주문, 바로 ‘밑 변환 공식’에 대해 배울 거예요. 이 공식을 사용하면 로그의 밑을 우리가 원하는 다른 밑으로 자유자재로 바꿀 수 있답니다! 밑이 달라서 계산하기 어려웠던 로그 문제들도 이 공식 하나면 문제없어요! 😉

밑 변환 공식: 로그의 밑을 내 마음대로! 🎨

일반적으로 로그 log_aN에서 밑 a를 우리가 사용하기 편한 다른 양수 b (단, b ≠ 1)로 바꾸고 싶을 때 밑 변환 공식을 사용해요.

밑 변환 공식: log_aN = log_bNlog_ba

(단, a > 0, a ≠ 1 이고, N > 0 이고, 새로운 밑 b도 b > 0, b ≠ 1 이어야 해요.)

이 공식은 어떻게 나왔을까요? 간단히 유도해 볼게요!

1. log_aN = x라고 놓으면, 로그의 정의에 의해 a^x = N이 됩니다.
2. 이 등식 a^x = N의 양변에 밑이 b인 로그를 취해볼게요. (양변에 똑같은 연산을 하는 건 괜찮죠?)
   log_b(a^x) = log_bN
3. 로그의 성질 log_cM^k = k log_cM을 이용하면, 좌변은 x log_ba가 됩니다.
   따라서 x log_ba = log_bN.
4. 여기서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 그래서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.
   x = log_bNlog_ba
5. 처음에 x = log_aN이라고 했으니, 결국 log_aN = log_bNlog_ba 이라는 공식이 유도되었어요! 🎉

이 공식을 잘 보면, 원래 로그 log_aN에서 진수 N은 새로운 로그의 분자로 가고, 밑 a는 새로운 로그의 분모로 가는 것을 알 수 있어요. “진수는 위로, 밑은 아래로!” 이렇게 기억하면 쉬울 거예요.

특별한 경우: log_ab = 1 / log_ba

밑 변환 공식에서 새로운 밑 b를 원래 로그의 진수였던 N으로, 즉 b = N이라고 설정하면 아주 재미있는 결과가 나와요.

log_aN = log_NNlog_Na

그런데 log_NN = 1 이죠? (밑과 진수가 같으면 1이니까!) 그래서,

log_aN = 1log_Na

여기서 문자를 바꿔서 N 대신 b를 쓰면, log_ab = 1log_ba 라는 공식을 얻을 수 있어요! 즉, 로그의 밑과 진수를 서로 바꾸면 그 값은 원래 로그 값의 역수가 된답니다! (단, b ≠ 1 이어야 log_ba가 잘 정의되겠죠?)

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✅ 개념확인

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💡 참고