245 로그의 성질 (1) 💡: 더하고 빼고, 지수 내리고!
⭐ 핵심만정리
로그 계산을 마법처럼 간단하게 만들어주는 기본 성질들을 만나보세요! (단, 밑 a > 0, a ≠ 1이고, 진수 M > 0, N > 0, k는 실수일 때 적용돼요!) ✨
- ① 기본 중의 기본!:
- loga1 = 0 (a를 0번 제곱하면 1이니까!)
- logaa = 1 (a를 1번 제곱하면 a니까!)
- ② 진수의 곱셈은 로그의 덧셈으로!: loga(MN) = logaM + logaN
- ③ 진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈으로!: loga(M/N) = logaM – logaN
- ④ 진수의 거듭제곱은 로그 앞으로 쏙!: logaMk = k logaM (지수가 앞으로 나올 수 있어요!)
이 성질들을 이용하면 복잡한 로그 식도 간단하게 정리할 수 있답니다! 🎩🐇
📚 개념정리
안녕, 로그 마법사 친구들! 🧙♀️ 오늘은 로그 계산을 훨씬 쉽고 빠르게 할 수 있도록 도와주는 ‘로그의 기본 성질’들을 배울 거예요. 이 성질들은 로그가 지수에서 태어났기 때문에, 지수법칙과 아주 밀접한 관련이 있답니다. 마치 마법 주문처럼 로그 식을 간단하게 만들어 줄 거예요! 😊
(단, 앞으로 나오는 모든 로그의 밑 a는 a > 0, a ≠ 1 조건을 만족하고, 진수 M, N은 M > 0, N > 0 조건을 만족한다고 약속할게요!)
1. 로그의 가장 기본적인 성질: loga1 = 0 그리고 logaa = 1
이 두 가지는 로그의 정의(ax = N ⇔ x = logaN)를 생각하면 아주 당연한 성질이에요!
- loga1 = 0 : a0 = 1 이므로 (0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이죠!), 이것을 로그로 표현하면 loga1 = 0이 됩니다. 즉, 어떤 밑을 가지든 진수가 1이면 그 로그 값은 항상 0이에요!
- logaa = 1 : a1 = a 이므로, 이것을 로그로 표현하면 logaa = 1이 됩니다. 즉, 밑과 진수가 같으면 그 로그 값은 항상 1이에요!
예) log51 = 0
예) log77 = 1
2. 진수의 곱셈은 로그의 덧셈으로 변신! loga(MN) = logaM + logaN
로그 안에서 진수끼리 곱해져 있다면, 각각의 로그를 더한 것과 같아요. 마치 곱셈이 덧셈으로 변하는 마법 같죠? ✨
이것은 지수법칙 ap × aq = ap+q에서 유도된답니다. 만약 logaM = p, logaN = q라고 하면, M = ap, N = aq이죠. 그러면 MN = apaq = ap+q가 되고, 이것을 다시 로그로 표현하면 loga(MN) = p+q = logaM + logaN이 되는 거예요!
예) log2(4 × 8) = log24 + log28 = 2 + 3 = 5. (실제로 log232 = 5 맞죠?)
3. 진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈으로 변신! loga(M/N) = logaM – logaN
로그 안에서 진수끼리 나누어져 있다면, 각각의 로그를 뺀 것과 같아요. 이번엔 나눗셈이 뺄셈으로 변했네요! 😮
이것도 지수법칙 ap ÷ aq = ap-q에서 유도할 수 있어요. 위와 비슷하게 증명할 수 있답니다.
예) log3(27/9) = log327 – log39 = 3 – 2 = 1. (실제로 log33 = 1 맞죠?)
4. 진수의 거듭제곱 지수는 로그 앞으로 뿅! logaMk = k logaM (단, k는 실수)
로그 안의 진수가 어떤 수의 거듭제곱 꼴(Mk)이라면, 그 지수 k가 로그 앞으로 뿅 하고 내려올 수 있어요! 마치 어깨 위에 있던 짐을 내려놓는 것처럼요. 😉
이 성질은 logaM = p라고 두면 M = ap이고, Mk = (ap)k = apk이므로, logaMk = pk = k logaM이 되는 원리예요.
예) log283 = 3 log28 = 3 × 3 = 9. (실제로 log2512 = 9 맞죠?)
예) log10√10 = log10101/2 = (1/2)log1010 = (1/2) × 1 = 1/2
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 값을 구하시오.
(1) log71 – log55
(2) log334 + log10100
(3) log212 + 2log2(√63) (숫자 변경)
(4) log52√5 – 2log5√10 (숫자 변경)
(원본 문제: (1) log₄1-log₃3 (2) log₅5²+log₁₀10000 (3) log₂18+2log₂(2/3) (4) log₃2√3-2log₃√6)💡 풀이 1:
로그의 성질을 차근차근 적용해 봅시다!
(1) log71 – log55
= 0 – 1 = -1 (loga1=0, logaa=1 이용)
(2) log334 + log10100
= 4log33 + log10102 = 4×1 + 2log1010 = 4 + 2×1 = 4 + 2 = 6 (logaMk=klogaM, logaa=1 이용)
(3) log212 + 2log2(√63)
= log212 + log2((√63)2) (klogaM = logaMk 이용)
= log212 + log2(69) = log212 + log2(23)
= log2(12 × 23) (logaM + logaN = logaMN 이용)
= log2(4 × 2) = log28 = log223 = 3log22 = 3
(4) log52√5 – 2log5√10
= log52√5 – log5(√10)2 = log52√5 – log510
= log5(2√510) = log5(√55)
√5/5 = 51/2 / 51 = 51/2 – 1 = 5-1/2
= log55-1/2 = (-1/2)log55 = -1/2
✏️ 문제 2: log32 = a, log35 = b일 때, 다음을 a, b로 나타내시오.
(1) log350
(2) log3(2518)
(숫자 변경: (1) log₂45 (log₂3=a, log₂5=b) (2) log₂(125/81) )💡 풀이 2:
(1) log350
50 = 2 × 25 = 2 × 52 이므로,
log350 = log3(2 × 52) = log32 + log352 (진수의 곱은 로그의 합)
= log32 + 2log35 (진수의 지수는 앞으로)
= a + 2b
(2) log3(2518)
log3(2518) = log325 – log318 (진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈)
25 = 52 이고, 18 = 2 × 9 = 2 × 32 이므로,
= log352 – log3(2 × 32)
= 2log35 – (log32 + log332)
= 2log35 – log32 – 2log33
= 2b – a – 2(1) = 2b – a – 2
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💡 참고
로그의 성질을 사용할 때 자주 하는 실수들을 조심해야 해요! 🙅♀️ 아래와 같은 계산은 성립하지 않는답니다!
- loga(M + N) ≠ logaM + logaN (진수의 덧셈은 로그의 덧셈이 아니에요!)
- loga(M – N) ≠ logaM – logaN (진수의 뺄셈도 로그의 뺄셈이 아니에요!)
- logaM × logaN ≠ loga(MN) (로그끼리의 곱셈은 진수의 곱셈에 대한 로그와 달라요!)
- (logaM) / (logaN) ≠ loga(M/N) (로그끼리의 나눗셈도 진수의 나눗셈에 대한 로그와 달라요!)
- (logaM)k ≠ k logaM (로그 전체의 거듭제곱은 진수의 거듭제곱과 달라요! 진수의 지수만 앞으로 나올 수 있어요.)
- 밑이 1인 로그 log1N은 정의되지 않는다는 것도 잊지 마세요!
로그의 성질은 진수 안에서의 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱을 로그의 덧셈, 뺄셈, 실수배로 연결해주는 아주 유용한 도구예요. 어떤 경우에 성립하고 어떤 경우에 성립하지 않는지 정확히 구분해서 사용하도록 연습해 보세요! 💪