⭐ 핵심만정리

로그 log_aN이 수학적으로 의미를 가지려면, 밑과 진수가 특정 조건을 만족해야 해요! 이 약속들을 꼭 기억하세요! 🔑

• 밑(a)의 조건:
  • 밑 a는 0보다 커야 해요 (a > 0).
  • 밑 a는 1이 아니어야 해요 (a ≠ 1).
• 진수(N)의 조건:
  • 진수 N은 0보다 커야 해요 (N > 0).

이 세 가지 조건을 모두 만족할 때만 로그 log_aN이 제대로 정의된답니다! 마치 게임의 규칙처럼 꼭 지켜야 하는 약속들이에요. 😉

📚 개념정리

안녕, 로그 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에 로그가 무엇인지, 지수와 어떤 관계가 있는지 배웠죠? 오늘은 로그가 수학적으로 의미를 가지기 위해 꼭 필요한 ‘밑 조건’과 ‘진수 조건’에 대해 자세히 알아볼 거예요. 이 조건들은 로그의 세계를 탐험하기 위한 필수 준비물이랍니다! 😊

로그 log_aN을 정의할 때, 우리는 밑 a와 진수 N에 다음과 같은 조건이 붙는다고 약속했어요.

• 밑 a의 조건: a > 0 이고 a ≠ 1
• 진수 N의 조건: N > 0

왜 이런 조건들이 필요할까요? 각 조건이 왜 중요한지 하나씩 파헤쳐 봅시다! 🧐

1. 밑(a)의 조건: 왜 0보다 크고 1은 안될까? 🤔

로그의 밑 a는 1이 아닌 양수여야 해요.

• 만약 밑 a가 0보다 작다면 (예: a = -3)?
  log_-32 = x라고 하면, 지수 형태로 (-3)^x = 2가 되죠. x가 어떤 값이냐에 따라 (-3)^x의 값은 양수가 되기도, 음수가 되기도 하고, 심지어 실수가 아닌 허수가 될 수도 있어요. (예: x=1/2이면 √-3) 이렇게 값이 불안정하면 로그를 일관되게 정의하기 어려워요.
• 만약 밑 a가 0이라면?
  log₀2 = x라고 하면, 0^x = 2가 되는데, 0을 아무리 거듭제곱해도 0이지 (단, x>0일 때), 2가 될 수는 없죠. 그래서 밑은 0이 될 수 없어요.
• 만약 밑 a가 1이라면?
  log₁2 = x라고 하면, 1^x = 2가 돼요. 그런데 1은 아무리 거듭제곱해도 항상 1이기 때문에 2가 될 수 없어요. 만약 log₁1 = x라면 1^x = 1이 되어 x는 모든 실수가 될 수 있어서 값이 하나로 정해지지 않아요. 그래서 밑은 1도 될 수 없답니다.

따라서 로그의 밑은 0보다 크고 1이 아닌 수로 약속하는 거예요!

2. 진수(N)의 조건: 왜 항상 0보다 커야 할까? 🤔

로그 log_aN의 진수 N은 항상 0보다 커야 해요.

왜냐하면 로그의 정의 a^x = N에서 밑 a가 양수이기 때문이에요. 양수인 밑 a를 실수 x번 거듭제곱한 결과인 N은 항상 양수가 된답니다. (예: 2³=8, 2^-3=1/8, 2⁰=1. 모두 양수죠?)

• 만약 진수 N이 0보다 작다면 (예: N = -3)?
  log₂(-3) = x라고 하면, 2^x = -3이 되는데, 양수인 2를 아무리 거듭제곱해도 음수인 -3이 될 수는 없어요.
• 만약 진수 N이 0이라면?
  log₂0 = x라고 하면, 2^x = 0이 되는데, 양수인 2를 아무리 거듭제곱해도 0이 될 수는 없죠.

따라서 로그의 진수는 항상 0보다 커야 한다는 조건이 붙는 거예요!

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✅ 개념확인

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💡 참고