237 거듭제곱근의 성질 🛠️: 루트 계산, 이 공식들로 끝!
⭐ 핵심만정리
거듭제곱근(n√a) 계산, 이 마법 같은 성질들만 알면 어렵지 않아요! (단, a > 0, b > 0이고, m, n은 2 이상의 정수, p는 양의 정수일 때 적용돼요!)
- ① n제곱하면 루트 뿅!: (n√a)n = a
- ② 루트끼리 곱셈은 하나로 합쳐서!: n√a × n√b = n√ab
- ③ 루트끼리 나눗셈도 하나로 합쳐서!: n√a / n√b = n√(a/b)
- ④ 루트 밖의 거듭제곱은 루트 안으로!: (n√a)m = n√am
- ⑤ 루트 속의 루트는 곱해서 하나로!: m√(n√a) = mn√a
- ⑥ 루트와 지수의 공약수는 약분 가능!: np√amp = n√am
이 성질들을 자유자재로 사용하면 복잡한 거듭제곱근 계산도 문제없어요! 💪
📚 개념정리
안녕, 루트 마법사 친구들! 🧙♂️ 오늘은 거듭제곱근(n√a)이 가진 여러 가지 신기한 성질들에 대해 알아볼 거예요. 이 성질들은 마치 마법 주문처럼 복잡한 거듭제곱근 계산을 간단하게 만들어 준답니다! 단, 오늘 배우는 성질들은 특별한 언급이 없는 한 루트 안의 수 a와 b가 모두 0보다 크고 (a > 0, b > 0), m, n은 2 이상의 정수, p는 양의 정수일 때 성립한다는 점을 기억해주세요! 😊
거듭제곱근의 기본 성질들! ✨
- (n√a)n = a
n√a는 n번 제곱하면 a가 되는 수라고 정의했었죠? 그래서 n제곱근 a를 다시 n제곱하면 당연히 a가 된답니다!
예) (3√7)3 = 7 - n√a × n√b = n√ab
n제곱근끼리의 곱셈은, n제곱근 기호는 그대로 두고 안의 수들끼리 곱하면 돼요! 마치 루트 안으로 쏙 들어가는 것 같죠?
예) 4√2 × 4√8 = 4√(2×8) = 4√16 = 2 - n√a / n√b = n√(a/b)
나눗셈도 마찬가지예요! n제곱근끼리 나눌 때는 n제곱근 기호는 그대로 두고 안의 수들끼리 나누면 된답니다.
예) 3√81 / 3√3 = 3√(81/3) = 3√27 = 3 - (n√a)m = n√am
n제곱근 a 전체를 m제곱하는 것은, 루트 안의 a만 m제곱한 것의 n제곱근과 같아요. 즉, 거듭제곱은 루트 안으로 쏙 들어갈 수 있어요!
예) (5√3)2 = 5√32 = 5√9 - m√(n√a) = mn√a
루트 안에 또 루트가 있는 이중근호 형태는, 바깥 루트의 제곱근 차수(m)와 안쪽 루트의 제곱근 차수(n)를 곱해서 하나의 루트로 합칠 수 있어요!
예) 3√(√64) = 3√(2√64) = 3×2√64 = 6√64 = 6√26 = 2 - np√amp = n√am (단, p는 양의 정수)
루트의 제곱근 차수(np)와 루트 안의 지수(mp)에 공통된 양의 정수 p가 곱해져 있다면, 이 p를 약분하듯이 없앨 수 있어요! 마치 분수에서 분자와 분모를 같은 수로 나누는 것과 비슷하죠?
예) 6√54 = 3×2√52×2 = 3√52 = 3√25
이 성질들을 잘 기억하고 연습하면 거듭제곱근 계산이 훨씬 수월해질 거예요! 😊
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 식을 간단히 하시오.
(1) 3√9 × 3√3
(2) 4√0.0081 / 4√0.0001
(3) (6√11)12
(4) √(3√729)
(5) 12√78
(숫자 변경: (1) ⁴√4 × ⁴√64 (2) ³√0.01 / ³√10 (3) (⁵√7)¹⁰ (4) √(⁴√256) (5) √√16 × ³√√64 (6) ⁹√3⁶ × ⁶√3²)💡 풀이:
거듭제곱근의 성질을 하나씩 적용해 봅시다!
(1) 3√9 × 3√3
= 3√(9 × 3) = 3√27 = 3√33 = 3 (성질 ② 이용)
(2) 4√0.0081 / 4√0.0001
= 4√(0.0081 / 0.0001) = 4√81 = 4√34 = 3 (성질 ③ 이용)
(3) (6√11)12
= 6√1112 (성질 ④ 이용)
= 6√(112)6 = 112 = 121 (또는 성질 ⑥을 6√116×2 = 112로 활용)
(4) √(3√729) (√는 2√와 같아요!)
= 2×3√729 = 6√729 (성질 ⑤ 이용)
729 = 36이므로, 6√36 = 3 입니다.
(5) 12√78
루트 차수 12와 지수 8의 최대공약수는 4예요. 4로 약분하면,
4×3√74×2 = 3√72 = 3√49 (성질 ⑥ 이용)
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💡 참고
거듭제곱근의 성질을 사용할 때 가장 중요한 것은 조건을 확인하는 습관이에요! 오늘 배운 성질들은 기본적으로 루트 안의 수가 양수일 때 성립한다고 했죠? 🤓
만약 루트 안에 음수가 들어가거나 문자가 포함된 경우에는 이 성질들을 함부로 사용하면 안 될 때도 있어요. 특히 문자가 포함된 경우에는 그 문자의 값의 범위에 따라 성립 여부가 달라질 수 있답니다.
예를 들어, √a2 = a라고 무조건 생각하면 안 되고, √a2 = |a|로 생각해야 하는 것처럼요! (개념 217 참고)
항상 주어진 조건(특히 문자가 양수인지 음수인지, 0인지 등)을 꼼꼼히 살피고, 각 성질이 어떤 조건에서 성립하는지를 기억하면서 문제를 푸는 것이 중요해요. 그래야 수학 마법을 안전하고 정확하게 사용할 수 있답니다! 😉