236 n√a의 정의 🧐: 실수인 거듭제곱근 찾기 대작전!
⭐ 핵심만정리
a의 n제곱근 중에서 ‘실수’인 것은 몇 개이고 어떻게 표현할까요? n이 짝수인지 홀수인지, a가 양수인지 0인지 음수인지에 따라 달라져요! 🎯
| 조건 | a > 0 (양수) | a = 0 | a < 0 (음수) |
|---|---|---|---|
| n이 짝수일 때 | n√a, –n√a (2개) | 0 (1개) | 없다 (0개) |
| n이 홀수일 때 | n√a (1개) | 0 (1개) | n√a (1개) |
여기서 n√a는 ‘n제곱근 a‘라고 읽어요! n=2일 때는 보통 2를 생략하고 √a라고 쓰죠.
📚 개념정리
안녕, 루트 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 a의 n제곱근이 복소수 범위에서 n개 존재한다는 것을 배웠죠? 오늘은 그중에서도 우리가 실제로 많이 다루게 될 ‘실수인 거듭제곱근’에 대해 자세히 알아볼 거예요. 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있고, 어떻게 표현하는지 함께 탐험해 봅시다! ✨
실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 방정식 xn = a의 실근과 같아요. 이것은 함수 y = xn의 그래프와 직선 y = a의 교점의 x좌표로 생각할 수 있답니다! n이 짝수일 때와 홀수일 때, 그리고 a의 부호에 따라 그 개수와 표현이 달라져요.
1. n이 짝수일 경우 (예: 제곱근, 네제곱근, …)
함수 y = xn (n은 짝수)의 그래프는 y축에 대하여 대칭인 U자 모양과 비슷해요.
(y축 대칭, U자 모양)
- a > 0 (양수)일 때: 직선 y=a는 y=xn 그래프와 두 점에서 만나요. 이 두 점의 x좌표가 바로 a의 n제곱근 중 실수인 것들이에요!
- 양수인 것을 n√a (n제곱근 a)
- 음수인 것을 –n√a (-n제곱근 a)
- a = 0일 때: 직선 y=0 (x축)은 y=xn 그래프와 원점(0,0)에서 한 점에서 만나요.
- 따라서 0의 n제곱근 중 실수인 것은 0 하나뿐이에요. 즉, n√0 = 0.
- a < 0 (음수)일 때: 직선 y=a는 y=xn 그래프와 만나지 않아요.
- 따라서 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 없답니다! (짝수 번 곱해서 음수가 되는 실수는 없으니까요.)
2. n이 홀수일 경우 (예: 세제곱근, 다섯제곱근, …)
함수 y = xn (n은 홀수)의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 S자 모양과 비슷해요.
(원점 대칭, S자 모양)
- a > 0 (양수)일 때: 직선 y=a는 y=xn 그래프와 오직 한 점에서 만나요.
- 이때의 x값을 n√a로 나타내고, 1개 존재합니다.
- a = 0일 때: 직선 y=0은 y=xn 그래프와 원점에서 한 점에서 만나요.
- 따라서 0의 n제곱근 중 실수인 것은 0 하나뿐이에요. 즉, n√0 = 0.
- a < 0 (음수)일 때: 직선 y=a는 y=xn 그래프와 오직 한 점에서 만나요.
- 이때의 x값을 n√a로 나타내고, 1개 존재합니다. (홀수 번 곱해서 음수가 되는 실수는 존재하죠! 예: (-2)3 = -8)
기호 n√a는 ‘n제곱근 a‘라고 읽어요. n=2일 때는 특별히 2를 생략하고 √a (제곱근 a, 또는 루트 a)라고 쓴답니다!
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 거듭제곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.
(1) 16의 네제곱근
(2) -27의 세제곱근
(숫자 변경: (1) 256의 네제곱근 (2) -125의 세제곱근)💡 풀이 1:
(1) 16의 네제곱근 중 실수인 것
x4 = 16을 만족하는 실수 x를 찾는 거예요.
여기서 n=4 (짝수)이고, a=16 > 0 (양수)이므로 실수인 것은 2개가 있어요.
네제곱해서 16이 되는 양수는 4√16이고, 음수는 –4√16입니다.
24 = 16이고 (-2)4 = 16이므로, 실수인 것은 2와 -2입니다.
(2) -27의 세제곱근 중 실수인 것
x3 = -27을 만족하는 실수 x를 찾는 거예요.
여기서 n=3 (홀수)이고, a=-27 < 0 (음수)이므로 실수인 것은 1개가 있어요.
세제곱해서 -27이 되는 실수는 3√-27입니다.
(-3)3 = -27이므로, 실수인 것은 -3입니다.
✏️ 문제 2: 다음 값을 구하시오.
(1) 4√0.0016
(2) 5√-243
(숫자 변경: (1) ⁴√0.0001 (2) ⁵√-32)💡 풀이 2:
(1) 4√0.0016
이것은 0.0016의 네제곱근 중에서 양수인 것을 의미해요.
0.0016 = 16/10000 = (2/10)4 = (0.2)4 이므로,
4√0.0016 = 0.2 입니다.
(2) 5√-243
이것은 -243의 다섯제곱근 중에서 실수인 것을 의미해요.
(-3)5 = -243 이므로,
5√-243 = -3 입니다.
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💡 참고
거듭제곱근 기호 n√a를 사용할 때 몇 가지 주의할 점이 있어요! 🧐
- “a의 n제곱근” vs “n제곱근 a (n√a)”:
“a의 n제곱근”은 방정식 xn=a의 모든 근(복소수 범위에서 n개)을 의미하는 반면, “n제곱근 a” 즉 n√a는 그중 특정한 하나의 값(주로 양의 실수 값 또는 유일한 실수 값)을 가리킬 때가 많아요. 문맥을 잘 파악하는 것이 중요해요! - n이 짝수이고 a < 0일 때: n√a와 같은 기호는 실수 범위에서는 의미가 없어서 보통 사용하지 않아요. 예를 들어 4√-16은 실수 중에는 없답니다.
실수인 거듭제곱근의 개수를 표로 정리한 것을 다시 한번 보면서 n이 짝수일 때와 홀수일 때, 그리고 a의 부호에 따라 어떻게 달라지는지 확실히 익혀두세요! 이 개념은 앞으로 지수법칙의 확장과 로그를 이해하는 데 중요한 기초가 된답니다. 💪