235 거듭제곱근이란? 🤔 xn=a의 숨은 주인공 찾기!
⭐ 핵심만정리
제곱근에서 한 단계 더 나아간 ‘거듭제곱근’! 그 정체를 파헤쳐 봅시다! 🕵️♀️
- 거듭제곱근이란? 실수 a와 2 이상의 정수 n에 대하여, n번 제곱하여 a가 되는 수, 즉 방정식 xn = a를 만족시키는 x를 ‘a의 n제곱근’이라고 해요.
- 종류: a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근 등을 통틀어 a의 거듭제곱근이라고 부른답니다.
- 개수 (복소수 범위에서): a의 n제곱근은 복소수의 범위에서 항상 n개가 존재해요! (단, 0의 n제곱근은 0 하나뿐이며, 이는 중근으로 봐요. )
예를 들어, ‘8의 세제곱근’은 x3 = 8을 만족하는 x값들이고, 복소수 범위에서 3개가 있답니다! 😉
📚 개념정리
안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧭 ‘제곱근’에 대해서는 많이 들어봤죠? 오늘은 그 제곱근의 개념을 확장시킨 ‘거듭제곱근’이라는 새로운 친구를 만나볼 거예요. 거듭제곱근은 무엇이고, 어떻게 정의되는지 함께 알아봅시다! 😊
거듭제곱근, 그게 뭔데? 🤔
우리가 ‘a의 제곱근’을 “제곱해서 a가 되는 수”라고 정의했던 것처럼, 거듭제곱근도 비슷하게 정의할 수 있어요.
실수 a와 2 이상의 정수 n에 대하여, n번 제곱해서 a가 되는 수를 바로 ‘a의 n제곱근’이라고 불러요.
이것을 방정식으로 표현하면 아주 간단해요! a의 n제곱근은 바로 방정식 xn = a를 만족시키는 x의 값이랍니다.
- n=2일 때: x2 = a를 만족하는 x ➡️ a의 제곱근
- n=3일 때: x3 = a를 만족하는 x ➡️ a의 세제곱근
- n=4일 때: x4 = a를 만족하는 x ➡️ a의 네제곱근
… 이런 식으로 계속 이어지겠죠? 이렇게 a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근 등을 모두 합쳐서 ‘a의 거듭제곱근’이라고 부르는 거예요.
거듭제곱근은 몇 개나 있을까? (복소수 범위에서!) 🧐
놀랍게도, a의 n제곱근은 복소수의 범위에서 생각하면 항상 n개가 존재해요! 마치 n차 방정식의 근이 n개 있는 것과 같아요.
예를 들어, ‘1의 세제곱근’을 찾아볼까요? 이것은 x3 = 1을 만족하는 x값을 찾는 것과 같아요.
x3 – 1 = 0
(x – 1)(x2 + x + 1) = 0 (인수분해!)
따라서 x – 1 = 0 또는 x2 + x + 1 = 0 이죠.
- x – 1 = 0 에서 x = 1
- x2 + x + 1 = 0 에서 근의 공식을 사용하면 x = (-1 ± √12-4(1)(1)) / 2(1) = (-1 ± √-3) / 2 = (-1 ± √3i) / 2 (여기서 i는 제곱하면 -1이 되는 허수 단위예요!)
그래서 1의 세제곱근은 1, (-1 + √3i)/2, (-1 – √3i)/2 이렇게 총 3개가 나온답니다!
단, 0의 n제곱근은 xn = 0을 만족하는 x값이므로 0 하나뿐이에요. 이때 0은 n중근으로 본답니다.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 거듭제곱근을 (복소수 범위에서) 모두 구하시오.
(1) -8의 세제곱근
(2) 81의 네제곱근
(숫자 변경: (1) -1의 세제곱근 (2) 16의 네제곱근)💡 풀이:
(1) -8의 세제곱근
세제곱해서 -8이 되는 수 x를 찾는 것이므로, 방정식 x3 = -8을 풀면 돼요.
x3 + 8 = 0
인수분해 공식 a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2)을 이용하면 (여기서 b=2):
(x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
따라서 x + 2 = 0 또는 x2 – 2x + 4 = 0 입니다.
- x + 2 = 0 에서 x = -2
- x2 – 2x + 4 = 0 에서 근의 공식을 사용하면 (짝수 공식 사용 가능! x = (-b’ ± √b’2-ac)/a , 여기서 b’=-1):
x = (1 ± √(-1)2 – 1×4) / 1 = 1 ± √1-4 = 1 ± √-3 = 1 ± √3i
그러므로 -8의 세제곱근은 -2, 1 + √3i, 1 – √3i 이렇게 3개입니다! 😄
(2) 81의 네제곱근
네제곱해서 81이 되는 수 x를 찾는 것이므로, 방정식 x4 = 81을 풀면 돼요.
x4 – 81 = 0
합차 공식을 두 번 사용할 수 있어요!
(x2 – 9)(x2 + 9) = 0
(x – 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0
따라서 x – 3 = 0 또는 x + 3 = 0 또는 x2 + 9 = 0 입니다.
- x – 3 = 0 에서 x = 3
- x + 3 = 0 에서 x = -3
- x2 + 9 = 0 에서 x2 = -9. 따라서 x = ±√-9 = ±√9i2 = ±3i
그러므로 81의 네제곱근은 3, -3, 3i, -3i 이렇게 4개입니다! 🥳
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💡 참고
거듭제곱근을 생각할 때는 ‘실수 범위’에서 생각하는지, ‘복소수 범위’에서 생각하는지에 따라 그 개수가 달라질 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요해요! 🧐
오늘 배운 것처럼 a의 n제곱근은 복소수 범위에서는 항상 n개가 있지만, 우리가 다음 시간에 배울 ‘실수인 거듭제곱근’은 a의 부호와 n이 짝수인지 홀수인지에 따라 개수가 달라진답니다. 이 차이점을 잘 구분하는 것이 앞으로 거듭제곱근을 이해하는 데 큰 도움이 될 거예요!
방정식 xn = a의 근이 바로 a의 n제곱근이라는 사실! 이것만 기억해도 거듭제곱근의 개념을 절반은 이해한 거나 다름없어요! 👍