229 순열이란? 🤔 순서가 중요해! nPr 완전 정복!
⭐ 핵심만정리
경우의 수를 셀 때 ‘순서’가 중요하다면? 바로 ‘순열’을 떠올리세요! 🥇🥈🥉
- 순열이란? 서로 다른 n개에서 r개 (단, 0 ≤ r ≤ n)를 택하여 일렬로 나열하는 것을 말해요.
- 순열의 수 기호: nPr 또는 P(n, r)로 나타내요. (P는 Permutation의 첫 글자!)
- 순열의 수 계산 방법: n부터 시작해서 1씩 작아지는 수를 r개 곱하면 돼요!
nPr = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1)
예를 들어, 5명 중에서 3명을 뽑아 순서대로 줄 세우는 경우의 수는 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60가지랍니다!
📚 개념정리
안녕, 경우의 수 챔피언을 꿈꾸는 친구들! 🏆 오늘은 경우의 수를 세는 아주 강력한 도구 중 하나인 ‘순열’에 대해 배울 거예요. 순열은 언제 사용하고, 어떻게 계산하는지 쉽고 재미있게 알아봅시다! ‘순서’라는 단어에 집중해주세요! 😉
순열이 뭐길래? 순서가 생명! 🏃♂️💨
일상생활에서 우리는 순서를 정하는 경우가 많아요. 예를 들어, 달리기 시합에서 1등, 2등, 3등을 정하거나, 서로 다른 카드를 뽑아 비밀번호를 만드는 경우처럼요. 이렇게 서로 다른 n개의 것들 중에서 r개를 골라 순서대로 한 줄로 세우는 것을 바로 ‘n개에서 r개를 택하는 순열’이라고 해요. 그리고 이 순열의 가짓수를 기호로 nPr와 같이 나타낸답니다. 여기서 P는 ‘순열’을 뜻하는 영어 단어 Permutation의 첫 글자 P에서 따온 거예요.
✨ 예시: 숫자 카드로 두 자리 수 만들기
1, 2, 3 세 개의 숫자가 적힌 카드가 있다고 해봐요. 이 중에서 서로 다른 2장의 카드를 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수는 몇 개일까요?
- 십의 자리에 올 수 있는 숫자: 1, 2, 3 (3가지)
- 일의 자리에 올 수 있는 숫자: 십의 자리에 온 숫자를 제외한 나머지 2가지
곱의 법칙에 따라 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수는 3 × 2 = 6가지예요. (12, 13, 21, 23, 31, 32)
이것이 바로 ‘서로 다른 3개에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는 순열’이고, 기호로는 3P2로 나타낼 수 있어요.
순열의 수 nPr 계산은 어떻게 할까? 🧐
서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 나열할 때, 각 자리에 올 수 있는 경우의 수를 생각해 보면 곱의 법칙으로 순열의 수를 구할 수 있어요.
- 첫 번째 자리에 올 수 있는 것: n가지
- 두 번째 자리에 올 수 있는 것: 첫 번째에 놓인 것을 제외한 (n-1)가지
- 세 번째 자리에 올 수 있는 것: 앞의 두 자리에 놓인 것을 제외한 (n-2)가지
- …
- r번째 자리에 올 수 있는 것: 앞의 (r-1) 자리에 놓인 것을 제외한 (n-r+1)가지
따라서 곱의 법칙에 의해, n개에서 r개를 택하는 순열의 수 nPr은 다음과 같이 계산해요 (단, 0 < r ≤ n):
nPr = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1)
이 식은 n부터 시작해서 1씩 작아지는 자연수를 차례대로 r개 곱한 것이라고 생각하면 쉬워요!
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 순열의 값을 구하시오.
(1) 4P2
(2) 5P3
(3) 6명의 학생 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는?
💡 풀이:
(1) 4P2
서로 다른 4개에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수예요.
계산은 4부터 시작해서 1씩 작아지는 수를 2개 곱하면 돼요.
4P2 = 4 × 3 = 12
(2) 5P3
서로 다른 5개에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수예요.
5부터 시작해서 1씩 작아지는 수를 3개 곱하면 돼요.
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60
(3) 6명의 학생 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는?
이것은 6명 중에서 2명을 뽑아 순서대로 ‘회장’과 ‘부회장’이라는 자리에 나열하는 것과 같아요. 순서가 중요하죠! (A가 회장, B가 부회장인 것과 B가 회장, A가 부회장인 것은 다르니까요.)
따라서 6P2로 계산할 수 있어요.
6P2 = 6 × 5 = 30가지 입니다! 😄
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💡 참고
순열을 배울 때 가장 중요한 것은 ‘순서를 고려하여 나열한다’는 점이에요! 🧐
만약 여러 개 중에서 몇 개를 뽑기만 하고 순서는 상관없다면? 그건 순열이 아니라 다음에 배울 ‘조합’이라는 개념이랍니다. 예를 들어, 대표 2명을 뽑는 것은 순서가 상관없으니 조합이지만, 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 것은 순서가 중요하니 순열이 되는 거예요.
문제를 읽고 ‘순서가 중요한가, 중요하지 않은가?’를 먼저 파악하는 것이 순열 문제를 푸는 첫걸음이라는 것, 꼭 기억해주세요! 😉 앞으로 순열과 조합을 비교하면서 더 확실하게 이해하게 될 거예요!