228 경우의 수 (2) 곱의 법칙 ✖️: ‘그리고’의 마법!
⭐ 핵심만정리
경우의 수 계산의 두 번째 비밀, 곱의 법칙! ‘그리고’ 상황에서 경우의 수를 쉽게 구하는 방법이에요! 🚀
- 곱의 법칙이란?
- 두 사건 A, B에 대하여,
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지이고,
- 그 각각의 경우에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지일 때,
- 두 사건 A와 B가 잇달아 (또는 동시에) 일어나는 경우의 수는 m × n 가지예요!
핵심은 ‘잇달아 일어날 때’ 또는 ‘동시에 발생하며’ 두 가지 조건이 모두 충족될 때랍니다! 이럴 땐 각 경우의 수를 곱해주면 돼요! multiplication_sign;
📚 개념정리
안녕, 경우의 수 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 ‘또는’의 상황에서 사용하는 합의 법칙을 배웠죠? 오늘은 ‘그리고’의 상황, 즉 여러 사건이 연달아 일어나거나 동시에 일어나는 경우에 사용하는 ‘곱의 법칙’에 대해 알아볼 거예요. 이 법칙만 알면 복잡해 보이는 경우의 수도 쉽게 계산할 수 있답니다! 😄
곱의 법칙: “그리고”로 연결될 때 곱해요! ✖️
곱의 법칙은 언제 사용하냐면요,
두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나고 (m가지 방법으로), 그 각각의 경우에 대하여 사건 B가 일어날 때 (n가지 방법으로),
두 사건 A와 B가 잇달아 (또는 동시에) 일어나는 총 경우의 수는 m × n 가지라는 법칙이에요.
여기서 중요한 것은 ‘사건 A의 각 경우마다 사건 B가 일어난다’는 점이에요. 즉, 두 사건이 서로 영향을 주면서 연쇄적으로 일어나는 상황을 생각하면 돼요.
✨ 예시로 이해하기: 길 찾기 문제
P 지점에서 Q 지점으로 가는 길은 a, b 이렇게 2가지가 있고, Q 지점에서 R 지점으로 가는 길은 1, m, n 이렇게 3가지가 있다고 해봅시다. P 지점에서 출발하여 Q 지점을 거쳐 R 지점으로 가는 모든 경우의 수는 몇 가지일까요?
Q → R (3가지 길)
- P에서 Q로 가는 사건(사건 A)의 경우의 수: 2가지 (a 또는 b)
- Q에서 R로 가는 사건(사건 B)의 경우의 수: 3가지 (1 또는 m 또는 n)
P에서 Q로 가는 길 a를 선택했을 때, Q에서 R로 가는 방법은 1, m, n으로 3가지가 있죠. 마찬가지로 P에서 Q로 가는 길 b를 선택했을 때도 Q에서 R로 가는 방법은 1, m, n으로 3가지가 있어요.
즉, 사건 A의 각 경우(2가지)에 대하여 사건 B가 3가지씩 일어나므로, 곱의 법칙에 따라 총 경우의 수는
2 × 3 = 6가지 입니다.
가능한 모든 경로를 나열해보면 (a,1), (a,m), (a,n), (b,1), (b,m), (b,n) 이렇게 6가지가 나오는 것을 확인할 수 있어요!
곱의 법칙은 잇달아 일어나는 셋 이상의 사건에 대해서도 똑같이 적용할 수 있어요! 각 단계별 경우의 수를 모두 곱해주면 된답니다.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 서로 다른 티셔츠 4벌과 서로 다른 바지 3벌이 있습니다. 티셔츠와 바지를 각각 하나씩 골라 짝지어 입는 방법은 총 몇 가지일까요?
(원본 문제: 티셔츠 3벌, 바지 4벌)💡 풀이:
이 문제는 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건이 잇달아 일어난다고 볼 수 있어요.
사건 A: 티셔츠를 고르는 경우의 수
서로 다른 티셔츠가 4벌 있으므로, 티셔츠를 고르는 방법은 4가지입니다.
사건 B: 바지를 고르는 경우의 수
서로 다른 바지가 3벌 있으므로, 바지를 고르는 방법은 3가지입니다.
어떤 티셔츠를 고르든, 그 각각에 대해 바지를 고르는 방법은 3가지씩 존재하죠. 예를 들어, 1번 티셔츠를 골랐을 때 바지는 3가지 중 하나를 고를 수 있고, 2번 티셔츠를 골랐을 때도 바지는 3가지 중 하나를 고를 수 있어요.
따라서 곱의 법칙에 따라 티셔츠와 바지를 짝지어 입는 총 방법의 수는:
4 (티셔츠 경우의 수) × 3 (바지 경우의 수) = 12가지 입니다! 🥳
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💡 참고
경우의 수를 셀 때 조건이 복잡해서 하나하나 나열하기 힘들 때는 수형도(나뭇가지 그림)나 순서쌍을 이용하면 모든 경우를 빠짐없이 체계적으로 찾는 데 도움이 돼요!
예를 들어, 앞서 길 찾기 문제에서 P→Q 길이 a,b / Q→R 길이 1,m,n 일 때, 수형도는 이렇게 그릴 수 있어요:
P – a – 1
└ m
└ n
└ b – 1
└ m
└ n
순서쌍으로는 (a,1), (a,m), (a,n), (b,1), (b,m), (b,n) 이렇게 나타낼 수 있고요. 수형도나 순서쌍을 그려보면 왜 곱의 법칙이 성립하는지 더 직관적으로 이해할 수 있답니다! 😉