203 우함수와 기함수 🧚: 그래프 대칭성의 비밀 요정!
⭐ 핵심만정리
함수 그래프의 대칭성을 나타내는 특별한 이름, 우함수와 기함수를 만나보세요!
- 우함수 (짝함수, y축 대칭 함수):
- 정의: f(-x) = f(x) [cite: 85]
- 특징: 그래프가 y축에 대하여 대칭이에요. [cite: 84, 88] 마치 y축을 기준으로 데칼코마니 한 것처럼!
- 예시: y = x2, y = x4 + 2, y = cos x
- 기함수 (홀함수, 원점 대칭 함수):
- 정의: f(-x) = -f(x) [cite: 87]
- 특징: 그래프가 원점에 대하여 대칭이에요. [cite: 86, 88] 그래프를 180도 회전시키면 원래 모습과 똑같아요!
- 예시: y = x, y = x3 – x, y = sin x, y = tan x
📚 개념정리
안녕, 수학 친구들! 수학의 세계에는 그래프 모양에 따라 특별한 이름을 가진 함수들이 있어요. 오늘은 그중에서도 그래프의 ‘대칭성’과 관련된 아주 중요한 두 친구, ‘우함수’와 ‘기함수’에 대해 알아볼 거예요. 이름이 조금 생소할 수 있지만, 알고 보면 정말 재미있는 개념이랍니다! 😊
1. 우함수 (짝함수): y축 대칭의 아름다움! 🦋
정의역의 모든 원소 x에 대하여 f(-x) = f(x)를 만족시키는 함수 f(x)를 우함수라고 해요. [cite: 85] 이게 무슨 말이냐고요? x 대신 -x를 넣어도 함숫값이 똑같다는 뜻이에요!
우함수의 가장 큰 특징은 그래프가 y축에 대하여 대칭이라는 거예요. [cite: 84, 88] 마치 y축을 접는 선으로 해서 종이를 접었을 때 양쪽 그림이 정확히 포개지는 것처럼요!
대표적인 우함수로는 f(x) = x2이 있어요. [cite: 84]
- f(2) = 22 = 4
- f(-2) = (-2)2 = 4
정말 f(-x) = f(x)가 성립하죠? y = x2의 그래프는 y축에 대해 완벽하게 대칭인 포물선 모양이랍니다.
(y축 대칭인 포물선)
2. 기함수 (홀함수): 원점 대칭의 신비로움! 🌀
정의역의 모든 원소 x에 대하여 f(-x) = -f(x)를 만족시키는 함수 f(x)를 기함수라고 해요. [cite: 87] 이번에는 x 대신 -x를 넣으면 함숫값의 부호가 반대가 된다는 뜻이에요!
기함수의 가장 큰 특징은 그래프가 원점에 대하여 대칭이라는 거예요. [cite: 86, 88] 그래프 위의 어떤 점을 원점에 대해 대칭 이동시키면 다시 그래프 위의 다른 점이 되는 거죠. 또는 그래프를 원점을 중심으로 180도 회전시키면 원래 그래프와 똑같이 겹쳐진답니다!
대표적인 기함수로는 f(x) = x3이 있어요. (원본 예시는 $f(x)=x$ [cite: 86])
- f(2) = 23 = 8
- f(-2) = (-2)3 = -8
여기서 f(-2) = -f(2)가 성립하는 것을 볼 수 있죠? y = x3의 그래프는 원점에 대해 아름다운 대칭을 이룬답니다.
(원점 대칭인 S자 곡선)
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지 조사하시오.
- f(x) = x4 – 2x2 + 5
- g(x) = x3 – 3x
- h(x) = x2 + x
💡 풀이:
각 함수에 -x를 대입해서 확인해 봅시다!
- f(x) = x4 – 2x2 + 5
- f(-x) = (-x)4 – 2(-x)2 + 5 = x4 – 2x2 + 5
- f(-x) = f(x)이므로, 이 함수는 우함수입니다! [cite: 89]
- g(x) = x3 – 3x
- g(-x) = (-x)3 – 3(-x) = -x3 + 3x = -(x3 – 3x)
- g(-x) = -g(x)이므로, 이 함수는 기함수입니다! [cite: 90]
- h(x) = x2 + x
- h(-x) = (-x)2 + (-x) = x2 – x
- h(-x)는 h(x)와 같지도 않고, -h(x) = -(x2 + x) = -x2 – x와도 같지 않아요.
- 따라서 이 함수는 우함수도 아니고 기함수도 아닙니다. [cite: 90]
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💡 참고
다항함수에서 우함수와 기함수를 쉽게 구분하는 꿀팁! 🍯
- 우함수(짝함수)는 보통 각 항의 x의 지수가 모두 짝수이거나 상수항으로만 이루어져 있어요. [cite: 88]
예: f(x) = 3x4 – 5x2 + 7 (지수 4, 2는 짝수, 7은 상수항) - 기함수(홀함수)는 보통 각 항의 x의 지수가 모두 홀수로만 이루어져 있어요. (상수항은 없어야 해요!) [cite: 88]
예: f(x) = 2x5 + 4x3 – x (지수 5, 3, 1은 모두 홀수)
물론 f(x) = x|x|와 같이 다항함수가 아니면서 기함수인 경우도 있답니다! [cite: 91] 항상 정의(f(-x)를 계산)로 확인하는 것이 가장 정확해요. 😉