마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
50f(x)=(x−1)²(3x+4)−2, 4×13−2=50
분모가 제곱이니 f(x)+2 를 (x−1)²으로 나눠 보세요 극한값 7 은 약분 뒤 남는 일차식의 값이 된다.개념 카드 · 다항함수의 결정 「분모 (x−1)² → 분자도 (x−1)² 을 인수로」
lim(f(x)+2)/(x−1)²=7에서 분모는 0으로, 극한은 유한값 7로 간다. 그러려면 분자 f(x)+2가 (x−1)²로 나누어떨어져야 한다. f는 삼차이므로 f(x)+2=(x−1)²(ax+b) 꼴로 놓는 게 정석. ‘분자→0’만 쓰면 f(1)=−2 하나밖에 못 얻지만, 중근이면 인수를 통째로 심어야 한다.◀ 분모의 중근 차수만큼 분자도 같은 인수를 품는다
f(x)+2=(x−1)²(ax+b)를 넣으면 (x−1)²이 약분되어 lim(ax+b)=a+b=7. 극한값 자체가 하나의 방정식이 된다. ‘분자→0’은 인수를 찾는 데 쓰고, ‘극한값=7’은 계수를 묶는 데 쓴다. 두 정보를 분리해서 각각 방정식으로 번역하라.◀ 극한값은 버리는 정보가 아니라 또 하나의 방정식이다
f(x)=(x−1)²(ax+b)−2. f(0)=(−1)²·b−2=b−2=2 → b=4, a+b=7이므로 a=3. f(x)=(x−1)²(3x+4)−2, f(3)=2²×13−2=50. f(0)=2가 f(x)+2 형태 때문에 헷갈리기 쉬우니, 최종식 f(x)에 직접 0을 넣어 검산하라.◀ 조건은 최종식 f(x)에 대입해 확인하는 습관
발상의 출발점분모가 (x−1)²이라는 중근이 핵심이다. 극한이 유한하려면 분자 f(x)+2가 (x−1)²을 통째로 인수로 가져야 하므로 f(x)+2=(x−1)²(ax+b)로 놓는다. 약분 뒤 남는 일차식에 x=1을 넣은 값이 극한값 7이고, 마지막으로 f(0)=2로 상수를 확정하면 삼차함수가 완성된다.
실수 포인트 ①‘분자→0’에서 얻은 f(1)=−2만으로 만족하고 멈추는 실수. (x−1)²(중근)이므로 인수를 두 번 품어야 하고, 그래서 f(x)+2=(x−1)²(ax+b)로 세워야 한다.
실수 포인트 ②f(0)=2를 f(x)+2에 잘못 대입해 b를 틀리는 실수. 최종식 f(x)=(x−1)²(ax+b)−2에 x=0을 넣어 b−2=2 → b=4로 계산해야 한다.
실수 포인트 ③f(3)=2²×13−2에서 4×13=52, 52−2=50인데 급하게 계산하다 52로 답하는 실수.
정답 50 (f(x)=(x−1)²(3x+4)−2, 4×13−2=50)
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