마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
0101
TOUGH01-1 함수의 극한 함수의 극한
9a=3, 3(2+1)=9
x절편이 −1, 2 이니 f(x) 를 두 인수와 a 의 곱으로 놓으세요 x절편이 근이니 인수는 정해지고 남는 건 최고차항 계수뿐.개념 카드 · 이차함수 그래프와 극한 「x절편 p, q ⇒ f(x)=a(x−p)(x−q)」
그래프가 x=−1, x=2에서 x축과 만난다. 이게 곧 f(x)=a(x+1)(x−2)라는 뜻이다. 그래프가 아래로 볼록(위로 열림)이니 a>0. 이차함수 그래프 문제는 ‘절편 읽어서 인수분해 형태로 세우기’가 무조건 1번 동작이다. 남는 미지수는 최고차항 계수 a 하나뿐.◀ x절편이 근 = 인수. 열린 방향으로 a 부호까지 결정
limx→−1 f(x)/(x+1)에서 분모→0인데 극한값이 −9(유한). 그러면 분자도 0이어야 하고, 그건 이미 f(x)에 (x+1) 인수가 있다는 뜻과 정확히 일치한다. 약분하면 f(x)/(x+1)=a(x−2). 여기 x=−1 대입: a(−3)=−3a=−9 → a=3.◀ 약분되는 순간 대입 계산으로 바뀐다
a=3이 나오면 f(x)=3(x+1)(x−2). 두 번째 극한 limx→2 f(x)/(x−2)도 완전히 같은 패턴 — (x−2)가 약분되어 3(x+1)만 남는다. x=2 대입: 3·3=9. 두 극한이 같은 구조라는 걸 알면 순식간에 끝난다.◀ 이 문제의 출제 포인트
발상의 출발점그래프에서 x절편 두 개(−1, 2)를 읽는 순간 f(x)=a(x+1)(x−2)로 식이 거의 완성된다. 미지수는 최고차항 계수 a 하나. 첫 번째 극한이 0/0꼴이고 유한값을 가진다는 건 (x+1)이 약분된다는 신호이므로, 약분 후 대입해 −3a=−9 → a=3. 두 번째 극한도 (x−2)를 약분해 3(x+1)에 x=2를 대입하면 9다.
실수 포인트 ①그래프가 아래로 볼록인데 a<0으로 놓는 실수. 위로 열린 포물선은 반드시 a>0이다.
실수 포인트 ②−3a=−9에서 부호를 놓쳐 a=−3으로 답하는 실수. 양변 −로 나눠 a=3.
실수 포인트 ③두 번째 극한에서 약분을 잊고 x=2를 그냥 넣어 0/0에서 멈추는 실수. (x−2)를 먼저 약분한 뒤 대입한다.
정답 9 (a=3, 3(2+1)=9)
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