마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
6(2×5+2)/(−2+4)=6
합과 곱이 주어진 꼴이니 α, β 를 이차방정식의 두 근으로 보세요 두 수의 합과 곱을 알면 그 둘은 t²−(합)t+(곱)=0 의 근이다.개념 카드 · 함수의 극한 「합 α+β, 곱 αβ ⇒ t²−(α+β)t+αβ=0 의 두 근」
해설 STEP A를 보면 lim f=α, lim g=β가 모두 존재하므로 lim{f(x)+g(x)}=α+β=3, lim f(x)g(x)=αβ=−10 이다. 두 극한 조건이 두 수 α, β의 합과 곱으로 번역되는 것이 이 문제의 핵심이다. 합과 곱을 알면 두 수는 이차방정식의 근으로 찾는다.◀ 극한 조건 두 개 = 합 3, 곱 −10
해설 STEP A 아래 파란 글씨 x²−(α+β)x+αβ=0 이 근거다. x²−3x−10=(x−5)(x+2)=0 에서 두 수는 5와 −2다. 조건 α>β가 있으므로 큰 쪽이 α=5, 작은 쪽이 β=−2 로 정해진다. 이 조건이 없으면 두 경우가 생긴다.◀ (x−5)(x+2)=0, α>β 로 순서 확정
해설 STEP B처럼 분자 2f(x)−g(x)의 극한은 2×5−(−2)=12, 분모 g(x)+4의 극한은 −2+4=2 다. 분모가 0이 아니므로 나눗셈의 극한을 쓸 수 있고 12/2=6. 내신연계 020은 합 1, 곱 −2로 α=2, β=−1을 얻어 (2+2)/(−2+4)=2가 되는 같은 구조다.◀ 분자 12, 분모 2, 답 6
발상의 출발점두 극한 조건은 α, β를 직접 주지 않고 합 α+β=3, 곱 αβ=−10만 준다. 합과 곱이 주어진 두 수는 이차방정식 x²−(합)x+(곱)=0의 두 근이므로 인수분해로 5와 −2가 나오고, α>β 조건이 둘의 순서를 정한다. 그 뒤 구하는 분수식은 분모의 극한이 0이 아님을 확인하고 분자·분모에 α, β를 대입하는 계산이다.
실수 포인트 ①합과 곱을 이차방정식으로 옮길 때 x²+3x−10=0 처럼 x의 계수 부호를 잘못 두는 실수. 근과 계수의 관계는 x²−(α+β)x+αβ=0 이므로 x²−3x−10=0 → (x−5)(x+2)=0.
실수 포인트 ②α>β 조건을 무시하고 α=−2, β=5로 두는 실수. 큰 수가 α이므로 α=5, β=−2이며, 바꾸면 분자 2×(−2)−5=−9가 되어 답이 달라진다.
실수 포인트 ③분자 2f−g에서 −g를 −(−2)로 처리하지 않고 2×5−2=8로 계산하는 실수. β=−2이므로 10−(−2)=12, 12/2=6.
정답 6 ((2×5+2)/(−2+4)=6)
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