마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL01-1 함수의 극한 함수의 극한의 존재 조건
14a=5, b=2, f(5)=7
모든 k 조건은 식이 갈리는 0과 3만 보라는 뜻으로 읽으세요 각 구간 안에서는 극한이 저절로 존재한다.개념 카드 · 함수의 극한의 존재 조건 「모든 점에서 극한 존재 = 경계점만 검사」
해설 STEP A를 보면 모든 실수 k에서 limx→k−f(x)=limx→k+f(x)라는 조건은 모든 점에서 극한이 존재한다는 뜻이다. 각 구간 안에서는 다항식·상수라 자동으로 존재하므로, 실제로 검사할 곳은 식이 바뀌는 x=0과 x=3 두 점뿐이다. 조건이 거창해 보여도 등식은 두 개만 나온다.◀ 모든 k 조건 = 경계점 0, 3 두 곳 검사
해설 STEP B처럼 x<0 식 x²−x+5에 0을 넣으면 좌극한 5, 0≤x<3 식은 상수 a이므로 우극한 a. 극한이 존재하려면 a=5다. 가운데 구간이 상수 a라는 점이 핵심으로, 상수함수의 극한은 그 상수 자체다. x=0 하나로 a가 확정된다.◀ x=0 에서 좌 5 = 우 a, 그래서 a=5
해설 STEP C를 보면 x=3에서 좌극한은 상수 a=5, 우극한은 x+b에 3을 넣은 b+3이므로 5=b+3에서 b=2. STEP D처럼 f(5)는 x≥3 구간의 x+b에 5를 넣어 5+2=7이다. 따라서 a+b+f(5)=5+2+7=14. 답은 14.◀ b=2, f(5)=7, 합 14
발상의 출발점모든 상수 k에 대하여 좌극한=우극한이라는 조건은 함수가 모든 점에서 극한을 갖는다는 말이고, 다항식과 상수 구간 안에서는 저절로 성립하므로 식이 바뀌는 x=0과 x=3만 검사하면 된다. x=0에서 5=a, x=3에서 a=b+3으로 a, b가 순서대로 확정되고, f(5)는 x≥3 구간 식에 5를 넣어 얻는다. 해설 STEP A~D가 이 순서를 그대로 따른다.
실수 포인트 ①모든 k라는 말에 무한히 많은 점을 검사해야 한다고 생각하거나, 반대로 x=0만 보고 x=3을 빠뜨리는 실수. 식이 바뀌는 점은 0과 3 둘이며 각각 등식 하나씩 나온다 → a=5, b=2
실수 포인트 ②x=3의 좌극한을 x²−x+5에 3을 넣어 11로 계산하는 실수. 3의 바로 왼쪽(0≤x<3)은 상수 a 구간이므로 좌극한은 a=5다 → 5=b+3
실수 포인트 ③f(5)를 상수 a=5나 x²−x+5에 5를 넣은 25로 쓰는 실수. 5≥3이므로 f(5)는 x+b에 5를 넣은 5+2=7이다 → a+b+f(5)=14
정답 14 (a=5, b=2, f(5)=7)
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