2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★☆☆ 출제영역: 미분

😰 “극값이 최댓값인 줄 알았는데 양 끝점이 더 크더라고요”

→ 닫힌구간에서 최대·최솟값을 구할 때, 극값만 비교하면 안 돼요. 양 끝점의 함숫값까지 반드시 비교해야 합니다. 이 실수만 안 하면 4점 확보예요.

① f'(x) = 0 으로 극값 후보를 먼저 구하고, 그 x값이 닫힌구간 안에 있는지 확인하세요.

② 극값 후보 + 양 끝점, 이 3~4개 점의 함숫값을 모두 계산해서 가장 큰 값이 M, 가장 작은 값이 m이에요.

③ 상수 a가 포함되어 있으면 최솟값 조건으로 a를 먼저 결정한 뒤, 최댓값을 구하세요.

💪 이 닫힌구간 최대·최솟값 전략을 완벽히 익히면 15번 미분가능성 추론(4점)까지 도전할 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 닫힌구간 최대·최솟값 = 극값 + 끝점

f'(x) = 0 의 해(극값 후보)와 구간의 양 끝점, 총 3~4개 점에서의 함숫값을 모두 비교해야 해요.

극댓값이 반드시 최댓값인 것은 아니에요! 끝점이 극댓값보다 클 수 있어요.

Point 2. 상수 a가 포함된 경우 — 조건으로 a 결정

최솟값 m이 주어져 있으면 그 조건으로 a값을 먼저 구해요. 극솟값이나 끝점 중 최솟값이 되는 것에 m을 대입하면 a를 결정할 수 있어요.

Point 3. 풀이 순서

① f'(x) = 0 풀기 → ② 증감표 작성 → ③ 극값·끝점 함숫값 비교 → ④ 최솟값 조건으로 a 결정 → ⑤ M+m 계산

STEP 1. f'(x) = 0 으로 극값 후보 찾기

f'(x) = 3x² – 3 = 3(x+1)(x-1) = 0 에서 x = -1 또는 x = 1 을 구합니다.

증감표를 그리면 x = -1에서 극대, x = 1에서 극소임을 알 수 있어요.

STEP 2. 함숫값 비교 및 a 결정

닫힌구간 [-2, 2]에서 x = -2, -1, 1, 2 네 점의 함숫값을 각각 계산합니다.

최솟값 조건을 이용하여 상수 a를 결정해요.

STEP 3. M + m 계산

a를 대입한 뒤 최댓값 M과 최솟값 m을 구하고 합을 계산합니다.

정답: ③

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

끝점 비교 누락: 극값만 보고 최대·최솟값을 정하면 안 돼요! 닫힌구간 문제에서는 양 끝점(x=-2, x=2)의 함숫값도 반드시 계산하세요.
극값 후보가 구간 밖인 경우: f'(x) = 0 의 해가 닫힌구간 안에 있는지 꼭 확인하세요. 구간 밖이면 무시해야 해요.
부호 실수: f(-2) = (-2)³ – 3(-2) + a = -8 + 6 + a = a – 2 예요. (-2)³ = -8 인데 급하면 +8로 쓰는 실수가 자주 나와요.
M+m 계산 전 재확인: 최댓값과 최솟값을 각각 구한 뒤 더하기 전에, 증감표와 일치하는지 한 번 더 확인하면 실수를 막을 수 있어요.