2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 3점 난이도 ★★★☆☆ 출제영역: 로그

😰 “밑이 3이랑 9로 다른데 어떻게 합쳐야 할지 모르겠어요”

→ 로그의 밑이 다르면 밑 변환 공식으로 통일하거나, 9 = 3²이니까 밑을 3으로 통일하는 게 핵심이에요. 밑이 다른 채로 계산하면 꼬입니다.

① log₃a² = 2log₃a 처럼 지수를 앞으로 내리는 성질을 먼저 적용하세요. 그러면 log₃a 값을 바로 구할 수 있어요.

② log₉ab 에서 밑 9 = 3²이므로 log₉x = log₃x / 2 로 바꾸면 밑이 3으로 통일돼요. 이후 log₃a와 log₃b로 분리하면 끝!

💪 이 밑 변환 감각만 익히면 10번 로그함수 그래프(4점)까지 자신 있게 도전할 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 로그 지수법칙 — 지수를 앞으로

log₃a² = 2·log₃a 이므로, log₃a²=4 라는 조건에서 log₃a = 2 를 바로 구할 수 있어요.

a가 양수이므로 log₃a = 2, 즉 a = 9 라는 것도 바로 알 수 있어요.

Point 2. 밑 변환 — 서로 다른 밑 통일하기

log₉ab 에서 밑 9 = 3² 이므로 log₉x = log₃x / log₃9 = log₃x / 2 로 밑을 3으로 바꿀 수 있어요.

이후 log₃(ab) = log₃a + log₃b 로 분리하면 log₃b 값을 구할 수 있어요.

Point 3. 핵심 판별법 — “밑이 다르면 통일부터”

로그 문제에서 밑이 2종류 이상 나오면, 밑 변환 공식을 사용해 하나로 통일하는 것이 첫 번째 할 일이에요. 이 문제에서는 밑 3으로 통일하면 깔끔합니다.

STEP 1. 첫 번째 조건에서 log₃a 구하기

a가 양수이므로 log₃a² = 2log₃a = 4, 따라서 log₃a = 2를 구합니다.

이로부터 a = 3² = 9 임을 알 수 있어요.

STEP 2. 두 번째 조건에서 log₃b 구하기

log₉ab = 5/2 에서 밑 9를 3²으로 바꾸면 log₃(ab) / 2 = 5/2 가 돼요.

log₃(ab) = 5, 즉 log₃a + log₃b = 5 이므로 log₃b = 5 – 2 = 3 을 구합니다.

STEP 3. b/a 계산

log₃b = 3 이므로 b = 27, a = 9 이므로 b/a를 구하면 최종 답을 얻어요.

정답: ④

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

밑 변환 방향 실수: log₉x = log₃x / log₃9 = log₃x / 2 예요. 분모에 2를 넣어야 하는데 분자에 2를 곱하면 답이 완전히 달라져요.
log₃a² ≠ (log₃a)²: 지수가 앞으로 나오는 건 진수의 지수예요. log₃a² = 2log₃a 이지, (log₃a)² 이 아닙니다!
a > 0 조건 놓치기: “두 양수 a, b”라는 조건 덕분에 log₃a = 2 (log₃a = -2가 아님)을 확정할 수 있어요. 조건을 꼼꼼히 읽으세요.
b/a vs a/b 혼동: 문제가 b/a를 묻는지 a/b를 묻는지 마지막에 한 번 더 확인! 분자분모를 바꿔 쓰는 실수가 의외로 많아요.