😰 “전개해서 미분했는데 계산이 너무 복잡해져서 시간 날렸어요”
→ f(x)=(x+1)(2x²-5x+1)을 일일이 전개하면 3차식이 되어 계산량이 늘어나요. 곱의 미분법을 쓰면 전개 없이 바로 f'(x)를 구할 수 있어요.
① 곱의 미분법: {f(x)g(x)}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) — 이 공식 하나면 전개 없이 바로 미분 가능!
② 미분계수만 구하면 되니까 f'(x) 전체를 정리할 필요 없이, x=2를 바로 대입하면 계산이 훨씬 간단해져요.
💪 곱의 미분법만 능숙해지면 13번 접선 응용(4점)이나 19번 극값 문제(3점)까지 자신 있게 도전할 수 있습니다!
📋 문제
🎯 이 문제의 핵심 포인트
Point 1. 곱의 미분법 공식
{f(x)g(x)}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) — 두 함수의 곱을 미분할 때는 “앞미×뒤 + 앞×뒤미”로 외우면 편해요.
전개한 뒤 미분하는 것보다 곱의 미분법이 계산 실수도 적고 속도도 빨라요.
Point 2. 미분계수는 “대입 먼저” 전략
f'(x) 전체를 정리하지 않아도 돼요. 곱의 미분법으로 f'(x)의 형태를 쓴 뒤, 바로 x=2를 대입하면 각 항의 값이 숫자가 되어 간단히 계산할 수 있어요.
Point 3. 풀이 순서
① f(x) = (x+1) · (2x²-5x+1) 로 분리 → ② 곱의 미분법 적용 → ③ x=2 대입 → ④ 덧셈으로 최종 답
📖 공식 해설
✏️ 해설 정리
STEP 1. 곱의 미분법 적용
f(x) = (x+1)(2x²-5x+1)에서 앞부분을 u = x+1, 뒷부분을 v = 2x²-5x+1 로 놓으면
f'(x) = u’v + uv’ = 1·(2x²-5x+1) + (x+1)·(4x-5) 가 돼요.
STEP 2. x=2 대입
f'(x)에 x=2를 대입하면 각 항이 숫자로 바뀌어서 간단하게 계산됩니다.
해설지에 따르면 f'(2)를 구하면 최종 답을 얻을 수 있어요.
정답: ⑤
※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.
🚨 실수 방지 꿀팁
- 전개 후 미분의 함정: (x+1)(2x²-5x+1)을 전개하면 2x³-3x²-4x+1이 되는데, 전개 과정에서 부호 실수가 나기 쉬워요. 곱의 미분법이 더 안전합니다.
- 뒷부분 미분 실수: g(x) = 2x²-5x+1 의 도함수는 g'(x) = 4x-5 예요. 2x²를 미분할 때 계수 2를 빼먹지 마세요!
- 대입 시 부호 주의: x=2를 대입할 때 (4×2-5) = 3인데, 급하면 (4-5) = -1로 잘못 계산하기도 해요. 곱하기를 먼저!
- 시간 절약 팁: 미분계수만 필요하면 f'(x)를 완전히 정리하지 말고, 곱의 미분법 형태 그대로 x=2를 넣는 게 30초 이상 절약돼요.
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