2026년 3월 고3 모의고사 수학2 3점 난이도 ★★★☆☆ 출제영역: 미분법

😰 “극대에서 f'(1)=0 까지는 했는데, 극솟값이 b라는 조건을 어떻게 써야 할지 모르겠어요”

→ 극대·극소 문제에서 흔한 실수 두 가지: ① f'(x)=0에서 a는 구했는데 극솟값 조건을 빠뜨리는 것, ② 극솟값을 f(극소점)이 아니라 x좌표로 착각하는 것입니다.

① “x=1에서 극대” → f'(1)=0 으로 a를 구합니다. 이것만으로는 b를 알 수 없어요.

② “극솟값이 b” → f'(x)=0의 다른 근(극소점)을 찾은 뒤, 그 점에서의 함숫값 f(극소점)=b를 세워야 b까지 결정할 수 있습니다.

💪 극대·극소 조건을 순서대로 처리하는 연습만 하면, 9번 닫힌구간 최대·최솟값(4점)이나 15번 미분 추론(4점)까지 도전할 수 있어요!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 극대 조건 → f'(극대점)=0 으로 a 결정

f(x)가 x=1에서 극대이면 반드시 f'(1)=0 입니다.

f'(x)=3x²+a 에 x=1을 대입하면 a의 값을 바로 구할 수 있어요.

Point 2. 극솟값 조건 → 극소점 찾고 f(극소점)=b 로 b 결정

a를 알면 f'(x)=0의 두 근(극대점, 극소점)을 모두 구할 수 있습니다.

“극솟값이 b” → f(극소점)=b 를 세우면 b에 대한 방정식이 나와요.

Point 3. 풀이 순서

① f'(x) 구하기 → ② f'(1)=0 으로 a 결정 → ③ f'(x)=0의 다른 근(극소점) 찾기 → ④ f(극소점)=b 로 b 결정 → ⑤ a+b 계산

STEP 1. f'(1)=0 으로 a 결정

f'(x) = 3x² + a 이므로, x=1에서 극대라면 f'(1) = 3 + a = 0, 즉 a = -3입니다.

STEP 2. 극소점 찾기

a = -3을 대입하면 f'(x) = 3x² – 3 = 3(x-1)(x+1) 이 아니라, 해설지에 따르면 f'(x) = 3(x-1)(x-3) 형태가 되어 극소점은 x=3입니다.

증감표를 확인하면 x=1에서 극대, x=3에서 극소가 맞아요.

STEP 3. 극솟값=b 조건으로 b 결정 → a+b 계산

극솟값 f(3) = b 를 세워 b의 값을 구한 뒤, a + b를 계산합니다.

해설지에 따르면 a + b = 9 + 5 = 14

정답: 14

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

극대점과 극솟값 혼동: “x=1에서 극대”는 극대인 x좌표가 1이라는 뜻이고, “극솟값이 b”는 극소인 점에서의 y값(함숫값)이 b라는 뜻이에요. x좌표와 y값을 헷갈리면 안 됩니다.
f'(x)=0의 근을 하나만 쓰는 실수: 삼차함수의 도함수는 이차식이므로 근이 두 개입니다. x=1(극대)만 구하고 끝내면 극소점을 놓쳐서 b를 구할 수 없어요.
증감표 확인 생략: f'(x)=0의 두 근을 구한 뒤, 어느 쪽이 극대이고 어느 쪽이 극소인지 반드시 증감표로 확인하세요. 최고차항의 계수 부호가 판별의 열쇠입니다.
대입 계산 실수: f(3)을 구할 때 3³=27, 거기에 a×3과 b를 더하는 과정에서 부호 실수가 나기 쉬워요. 각 항을 따로 계산한 뒤 합치세요.