2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★★☆ 출제영역: 미분

😰 “점 P에서 접선까지는 구했는데, 접선과 곡선의 교점 Q를 어떻게 찾죠?”

→ 접선의 방정식과 원래 곡선을 연립하면 교점을 구할 수 있어요. 핵심은 접점에서 이미 중근을 가진다는 사실을 이용해 인수분해하는 거예요.

① 점 P에서의 접선 기울기 = f'(1). 접선의 방정식 y = f'(1)(x-1) + f(1) 을 구하세요.

② 접선과 곡선의 교점: f(x) = 접선 을 정리하면 (x-1)²(x+α) = 0 형태가 돼요. x=1(접점)은 중근이니까 나머지 근이 Q의 x좌표!

③ 점 Q에서의 접선을 구한 뒤, 축과 만드는 도형의 넓이를 적분으로 계산하세요.

💪 접선+교점+넓이 복합 문제를 풀 수 있다면, 15번 미분가능성 추론(4점)도 거뜬합니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 접선의 방정식 구하기

f(x) = x³ – x 에서 f'(x) = 3x² – 1. 점 P(1, 0)에서의 접선 기울기 f'(1) = 2 이므로 접선: y = 2(x-1). 이 과정을 정확히 쓰는 게 출발점이에요.

Point 2. 접선과 곡선의 교점 Q — 중근 활용 인수분해

x³ – x = 2(x-1) 을 정리하면 x³ – 3x + 2 = 0.

접점 x=1에서 중근이므로 (x-1)²(x+2) = 0 으로 인수분해돼요. Q의 x좌표 = -2!

Point 3. 점 Q에서의 접선 → 도형 넓이

점 Q(-2, f(-2))에서의 접선을 구하고, 이 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 1/2 × 밑변 × 높이 또는 적분으로 계산해요.

STEP 1. 점 P에서의 접선 구하기

f'(x) = 3x² – 1 이므로 f'(1) = 2. 접선의 방정식: y = 2(x-1) = 2x – 2.

STEP 2. 접선과 곡선의 교점 Q 구하기

x³ – x = 2x – 2 를 정리하면 x³ – 3x + 2 = 0. 접점 x=1이 중근이므로

(x-1)²(x+2) = 0, Q의 x좌표는 -2. Q(-2, -6)을 구합니다.

STEP 3. 점 Q에서의 접선과 도형 넓이

점 Q에서의 접선의 방정식을 구하고, 이 접선과 x축, y축으로 만들어지는 도형의 넓이를 계산합니다.

정답: ⑤

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

접점에서 중근: 곡선과 접선이 만나는 점(접점)에서는 항상 중근이에요. 삼차방정식을 풀 때 (x-접점)²으로 나누면 나머지 근을 쉽게 구할 수 있어요.
Q ≠ P 확인: 문제에서 “P가 아닌 점 Q”라고 했으니, 중근(x=1)이 아닌 다른 근을 Q로 잡아야 해요.
f(-2) 계산 실수: (-2)³ = -8 이에요. 음수의 세제곱에서 부호 실수가 자주 나와요. 차분하게 계산!
도형 넓이 = 삼각형: 접선이 직선이고 x축, y축과 만나면 삼각형이 돼요. 1/2 × 밑변 × 높이로 간단하게 구할 수 있는지 먼저 확인하세요.