2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★★☆ 출제영역: 수열

😰 “빈칸추론이라 풀이 흐름은 보이는데 (가)(나)(다)에 뭘 넣어야 할지 모르겠어요”

→ 빈칸추론 문제는 풀이의 논리적 흐름을 따라가면서 빈칸을 채우는 유형이에요. 이미 풀이가 주어져 있으니 “왜 이 단계가 나오는지” 이해하는 게 핵심이에요.

① S_{n+1} – S_n = a_{n+1} 이라는 수열의 합과 일반항의 관계를 먼저 떠올리세요. 이걸 모르면 첫 단계부터 막혀요.

② 등비수열 {bₙ}의 공비를 구한 뒤, bₙ을 일반항으로 표현하고 합을 구하세요. 등비급수 합 공식이 마지막 단계에 필요해요.

💪 빈칸추론은 유형만 익히면 가장 확실하게 4점을 챙길 수 있는 문제입니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. S_{n+1} – S_n = a_{n+1} 관계 활용

수열의 합 S_n에 대해 S_{n+1} – S_n = a_{n+1} 이에요. 이 관계를 주어진 조건에 대입하면 a_{n+1}과 b_n의 관계식을 얻을 수 있어요.

Point 2. 등비수열 공비 구하기

빈칸 (가)에서 a_{n+1}을 bₙ으로 표현한 뒤, n=1일 때의 값을 확인하면 등비수열 {bₙ}의 공비를 결정할 수 있어요. b₁=3이 주어져 있으니 일반항도 바로 구할 수 있어요.

Point 3. 등비급수 합으로 최종 답 계산

공비와 일반항이 결정되면, 주어진 합을 등비급수 공식 Σaᵣⁿ = a/(1-r) (|r|<1) 또는 유한 등비급수 합 공식으로 계산해요.

STEP 1. (가) — a_{n+1} 관계식 도출

n=1일 때 조건식에서 a₂를 구하고, n ≥ 2에서 S_{n+1} – S_n = a_{n+1} 관계를 이용합니다.

두 식을 빼면 a_{n+1}과 a_n, b_n의 관계를 얻을 수 있어요.

STEP 2. (나) — 등비수열 공비 결정

해설지에 따르면, 모든 항이 양수인 등비수열 {bₙ}의 공비를 구합니다.

b₁ = 3 과 함께 일반항 bₙ = b₁ × rⁿ⁻¹ 형태를 완성해요.

STEP 3. (다) — 합 계산

구한 공비와 일반항을 이용해 주어진 합을 계산합니다.

정답: ①

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

S_{n+1} – S_n 관계 혼동: S_{n+1} – S_n = a_{n+1} 이지 a_n이 아니에요! 인덱스를 정확히 맞추세요.
n=1 대입 검증: 빈칸추론에서 구한 점화식이 n=1일 때도 성립하는지 반드시 확인하세요. n ≥ 2에서만 성립하는 경우가 있어요.
등비수열 공비 부호: “모든 항이 양수”라는 조건이 있으면 공비도 양수예요. 이차방정식에서 근이 두 개 나올 때 음수 근은 버려야 해요.
p + q + r 최종 계산: (가)(나)(다)에 들어갈 수를 각각 p, q, r로 놓고 p×q×r(또는 다른 연산)을 물어보는 경우가 많아요. 마지막 연산을 정확히 읽으세요!