2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★★☆ 출제영역: 적분

😰 “위치와 이동거리가 헷갈려서 ∫v(t)dt 하나만 구하고 끝냈어요”

→ 위치 = ∫v(t)dt 이고, 이동거리 = ∫|v(t)|dt 예요. 이 두 가지를 구분 못 하면 보기 판별에서 무조건 틀려요.

① 위치 변화량은 부호 그대로 적분하면 되지만, 이동거리는 v(t) = 0 이 되는 시각을 기준으로 구간을 나눠 절댓값 적분해야 해요.

② 운동 방향이 바뀌는 건 v(t)의 부호가 바뀌는 시점이에요. v(t) = 0 의 해를 구하고, 좌우에서 부호가 바뀌는지 확인하세요.

③ 보기 문제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서대로 풀되, 쉬운 것부터 확인해서 선택지를 줄여가세요.

💪 위치 vs 이동거리 구분만 확실하면 21번 정적분 추론(4점)까지 도전할 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 위치 = ∫v(t)dt, 이동거리 = ∫|v(t)|dt

위치(변위)는 속도를 그대로 적분한 값이에요. 양의 방향과 음의 방향이 상쇄돼요.

이동거리는 속도의 절댓값을 적분한 값이에요. 방향 상관없이 실제로 움직인 총 거리예요.

Point 2. v(t) = 0 으로 방향 전환 시점 찾기

v(t) = t² – 6t + 5 = (t-1)(t-5) = 0 에서 t = 1, t = 5.

이 시점에서 v(t)의 부호가 바뀌면 운동 방향이 전환된 거예요. 부호 변화 여부를 꼭 확인!

Point 3. 보기 풀이 전략

ㄱ. 위치 = ∫₀³ v(t)dt 계산 → ㄴ. v(t) 부호 변화 횟수 확인 → ㄷ. 구간 나눠서 |v(t)| 적분으로 이동거리 계산

STEP 1. ㄱ 판별 — 시각 t=3에서 위치

원점 출발이므로 위치 = ∫₀³ v(t)dt = ∫₀³ (t²-6t+5)dt 를 계산합니다.

해설지에 따르면 위치는 0이에요. → ㄱ 참

STEP 2. ㄴ 판별 — 운동 방향 변환 횟수

v(t) = (t-1)(t-5) = 0 에서 t=1, t=5. t=1과 t=5에서 v(t)의 부호가 바뀌므로

운동 방향은 두 번 바뀝니다. → ㄴ 참

STEP 3. ㄷ 판별 — 이동거리

t=0~1 구간(v>0), t=1~5 구간(v<0), t=5~6 구간(v>0) 으로 나눠 각각 |v(t)| 적분한 뒤 합합니다.

정답: ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

위치 ≠ 이동거리: ∫v(t)dt 로 구하는 건 위치(변위)예요. 이동거리는 ∫|v(t)|dt 로 구간별 절댓값 적분해야 해요. 이 구분이 4점의 핵심!
방향 전환 = v(t)=0 + 부호 변화: v(t)=0이더라도 부호가 안 바뀌면(접하는 경우) 방향 전환이 아니에요. 부호 변화까지 확인하세요.
구간 나누기 실수: v(t)<0인 구간의 적분값은 음수예요. 이동거리를 구할 때는 이 구간 적분에 마이너스를 붙여서 양수로 만들어야 해요.
보기 문제 시간 관리: ㄱ이 쉬우면 먼저 풀고 선택지를 줄이세요. ㄱ이 참이면 ①(ㄱ), ②(ㄱ,ㄴ), ③(ㄱ,ㄷ), ⑤(ㄱ,ㄴ,ㄷ) 중 하나!