😰 “절댓값 안에 d-1이 있어서 경우 나누는 걸 까먹었어요”
→ |d-1|을 그대로 두고 중복조합을 적용하는 실수, 절댓값 안의 부호에 따른 경우 분류를 빠뜨리는 실수 — 이 두 가지만 잡으면 됩니다.
① 절댓값이 보이면 무조건 경우 분류! |d-1|은 d≥1일 때 d-1, d=0일 때 1-d=1로 나눠서 처리하세요.
② 각 경우를 a+b+c+(새 변수)=상수 꼴로 바꾸면 익숙한 중복조합 문제로 변환됩니다. 치환 후 새 변수의 범위가 “음이 아닌 정수”인지 반드시 확인!
💪 절댓값+중복조합 경우 분류 패턴만 익히면 27번 집합 순서쌍(3점)은 물론, 28번 함수 개수(4점)까지 도전할 수 있습니다!
📋 문제
🎯 이 문제의 핵심 포인트
Point 1. 절댓값 → 경우 분류가 핵심
|d-1|은 d의 값에 따라 달라지므로, d=1일 때(절댓값=0)와 d≥2일 때(절댓값=d-1), d=0일 때(절댓값=1)로 세 가지로 나눠야 합니다.
절댓값 문제에서 경우 분류를 빠뜨리면 답이 확 달라지니, “절댓값 = 경우 나누기”를 반사적으로 떠올리세요.
Point 2. 각 경우를 중복조합으로 변환
절댓값을 풀고 나면 “음이 아닌 정수의 합=상수” 형태가 됩니다. 이것은 ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ로 바로 풀 수 있는 전형적인 중복조합 문제예요. d≥2인 경우에는 치환(d’=d-1)으로 범위를 음이 아닌 정수로 맞춰주세요.
Point 3. 풀이 순서
① |d-1|의 값에 따라 경우 분류 → ② 각 경우에서 절댓값 제거 후 방정식 정리 → ③ 중복조합 공식 적용 → ④ 모든 경우의 수 합산
📖 공식 해설
✏️ 해설 정리
STEP 1. 절댓값에 따라 경우 분류
조건: a + b + c + |d-1| = 4 (a, b, c, d는 음이 아닌 정수)
(ⅰ) d = 1인 경우: |d-1| = 0 → a + b + c = 4
(ⅱ) d ≥ 2인 경우: |d-1| = d-1 → a + b + c + (d-1) = 4, 즉 d’ = d-1 ≥ 1로 치환하면 a + b + c + d’ = 4 (d’ ≥ 1)
(ⅲ) d = 0인 경우: |d-1| = 1 → a + b + c = 3
STEP 2. 각 경우에서 중복조합 계산
(ⅰ) a + b + c = 4의 음이 아닌 정수해: ₃H₄ = ₆C₂ = 15
(ⅱ) d’ ≥ 1이므로 d” = d’-1로 치환하면 a + b + c + d” = 3 (d” ≥ 0): ₄H₃ = ₆C₃ = 20
(ⅲ) a + b + c = 3의 음이 아닌 정수해: ₃H₃ = ₅C₂ = 10
STEP 3. 합산
15 + 20 + 10 = 45
정답: ③
※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.
🚨 실수 방지 꿀팁
- 절댓값 경우 분류 누락: |d-1|에서 d=0인 경우를 빠뜨리기 쉬워요! d≥1만 생각하면 d=0일 때 |0-1|=1이 되는 경우를 놓치게 됩니다.
- 치환 후 범위 확인: d≥2일 때 d’=d-1로 치환하면 d’≥1이에요. 이때 d”=d’-1로 한 번 더 치환해야 음이 아닌 정수 조건이 맞아서 중복조합 공식을 적용할 수 있어요.
- 중복조합 공식 혼동: “n종류에서 r개를 뽑는” ₙHᵣ과 “변수 n개의 합이 r인” 방정식의 해 개수를 혼동하지 마세요. a+b+c=4는 변수 3개, 합 4이므로 ₃H₄입니다.
- 검산 방법: 세 경우의 순서쌍 개수를 구한 뒤, d=0, d=1, d=2일 때를 직접 나열해보면 계산이 맞는지 빠르게 확인할 수 있어요.
🎬 풀이 영상
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이론 정리중복조합 완벽정리 (준비중)
📌 본 포스트는 2026학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학영역(확률과통계)의 문제를 분석한 해설입니다.
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