😰 “양끝 합이 4가 되는 경우를 하나 빼먹었어요”
→ 양끝 조건을 만족하는 경우 분류를 빠뜨리는 실수, 가운데 카드를 나열할 때 같은 것이 있는 순열 분모를 잘못 쓰는 실수 — 이 두 가지만 잡으면 됩니다.
① 양끝 합=4를 만드는 조합을 빠짐없이 나열하세요. (1,3)만 되는지, (2,2)도 가능한지 꼼꼼히 확인!
② 같은 것이 있는 순열 공식 n!/(p!q!r!…)에서 분모에 들어갈 같은 카드 개수를 양끝에 이미 쓴 것을 빼고 다시 세야 해요.
💪 이 경우 분류+같은 것이 있는 순열 패턴만 익히면 27번 집합 순서쌍(3점)이나 29번 원형배열(4점)까지 도전할 수 있습니다!
📋 문제
🎯 이 문제의 핵심 포인트
Point 1. 양끝 조건 → 경우 분류가 먼저
양끝에 놓인 카드의 합이 4가 되려면 어떤 숫자 조합이 가능한지 먼저 분류해야 합니다.
카드에 1, 2, 3만 있으므로 양끝 합=4를 만드는 경우는 (1, 3) 또는 (2, 2)입니다. 각 숫자별 카드 장수를 확인해서 실제로 가능한지 체크하세요.
Point 2. 같은 것이 있는 순열 공식
가운데 5자리에 남은 카드를 나열할 때 n!/(p!q!r!…) 공식을 적용합니다. 양끝에 배치한 카드를 빼고 남은 카드의 개수를 정확히 세는 것이 핵심이에요.
Point 3. 풀이 순서
① 양끝 합=4가 되는 경우 분류 → ② 각 경우에서 양끝 배치 수 계산 → ③ 가운데 카드를 같은 것이 있는 순열로 나열 → ④ 각 경우의 수를 합산
📖 공식 해설
✏️ 해설 정리
STEP 1. 양끝 경우 분류
카드: 1이 3장, 2가 2장, 3이 2장 (총 7장). 양끝 합=4가 되려면:
(ⅰ) 양끝에 2가 적힌 카드가 놓이는 경우 → 2+2=4 ✅
(ⅱ) 양끝에 1과 3이 적힌 카드가 한 장씩 놓이는 경우 → 1+3=4 ✅
STEP 2. 각 경우의 수 계산
(ⅰ) 양끝이 2, 2인 경우: 가운데 5장은 1, 1, 1, 3, 3
같은 것이 있는 순열 = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10
(ⅱ) 양끝이 1, 3인 경우: 좌우 배치 2가지 × 가운데 5장(1, 1, 2, 2, 3) 나열
같은 것이 있는 순열 = 5!/(2!×2!×1!) = 120/4 = 30
경우의 수 = 2 × 30 = 60
STEP 3. 합산
10 + 60 = 70
정답: ①
※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.
🚨 실수 방지 꿀팁
- 경우 분류 빠뜨리기: 양끝 합=4를 만드는 조합이 (1,3)만 있다고 생각하기 쉽지만, (2,2)도 가능합니다! 2가 2장 있으므로 양끝에 하나씩 놓을 수 있어요.
- 같은 것이 있는 순열 분모 실수: 양끝에 카드를 배치한 후 남은 카드의 같은 것 개수를 다시 세야 합니다. 원래 1이 3장인데 양끝에 1장 썼으면 남은 1은 2장이에요.
- (1,3) 배치에서 좌우 구분: 1과 3은 서로 다른 숫자이므로 (1, ○, 3)과 (3, ○, 1)은 다른 경우입니다. ×2를 잊지 마세요!
- 검산 팁: 각 경우의 분모(같은 것 팩토리얼)를 곱해서 분자(n!)와 비교해보면 계산 실수를 빠르게 잡을 수 있어요.
🎬 풀이 영상
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이론 정리같은 것이 있는 순열 완벽정리 (준비중)
📌 본 포스트는 2026학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학영역(확률과통계)의 문제를 분석한 해설입니다.
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