183 코시-슈바르츠 부등식 활용 특강: 최댓값·최솟값 구하기 실전! 🚀
안녕하세요, 부등식의 힘을 활용하는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 실수 조건에서 항상 성립하는 강력한 도구, 코시-슈바르츠 부등식 (a2+b2)(x2+y2) ≥ (ax+by)2에 대해 배웠어요. 오늘은 이 코시-슈바르츠 부등식을 실제로 어떻게 활용하여 특정 식의 최댓값 또는 최솟값을 구할 수 있는지 다양한 예제를 통해 알아볼 거예요. 이 부등식은 특히 제곱의 합이 주어졌을 때 일차식의 범위를 찾거나, 그 반대의 경우에 매우 유용하게 사용된답니다! 함께 실전 문제 해결 능력을 키워볼까요? 🛠️
📝 핵심만정리: 코시-슈바르츠 부등식 활용법!
a, b, x, y가 실수일 때, 코시-슈바르츠 부등식
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(등호는 x&frasL;a = y&frasL;b일 때 성립)을 이용하여 다음 두 가지 유형의 문제에서 최댓값 또는 최솟값을 구할 수 있어요.
- x2+y2의 값이 주어졌을 때, ax+by의 최댓값과 최솟값 구하기:
→ (ax+by)2 \le (\text{상수}) 꼴로 만들어 범위를 구해요. - ax+by의 값이 주어졌을 때, x2+y2의 최솟값 구하기:
→ x2+y2 \ge (\text{상수}) 꼴로 만들어 최솟값을 구해요.
문제에서 주어진 조건과 구하려는 식의 형태를 보고, 코시-슈바르츠 부등식의 a,b,x,y에 어떤 값을 대입할지 결정하는 것이 중요해요!
🤔 코시-슈바르츠 부등식 다시 보기!
개념정리 183-1: 실수 조건의 강력한 부등식
다시 한번 코시-슈바르츠 부등식을 상기해 봅시다.
a, b, x, y가 실수일 때, 다음 부등식이 항상 성립합니다.
그리고 등호는 ay=bx (즉, x/a = y/b, 단 a \ne 0, b \ne 0)일 때 성립합니다.
이 부등식은
- (제곱의 합) \times (제곱의 합) \ge (곱의 합)2
의 형태로 기억하면 편리해요. 이 구조를 잘 파악하고 문제에 적용하는 연습이 필요합니다!
🎯 활용 예제 살펴보기: 최댓값과 최솟값 찾기!
개념정리 183-2: 주어진 조건과 구하는 식을 공식에 대입!
1. x2+y2 값이 주어지고 ax+by의 범위 구하기
예제 1: 실수 x, y에 대하여 x2 + y2 = 20일 때, x+2y의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (PDF 예제)
코시-슈바르츠 부등식 (a2+b2)(x2+y2) ≥ (ax+by)2에서, 우리가 구하려는 것은 1 \cdot x + 2 \cdot y의 범위입니다.
따라서 부등식의 a=1, b=2로 생각하고, 주어진 조건 x2+y2=20을 대입하면:
(12 + 22)(x2 + y2) ≥ (1 \cdot x + 2 \cdot y)2
(1 + 4)(20) ≥ (x+2y)2
(5)(20) ≥ (x+2y)2
100 ≥ (x+2y)2
즉, (x+2y)2 \le 100 입니다.
제곱해서 100 이하가 되는 실수는 -10과 10 사이에 있어야 하므로,
-10 \le x+2y \le 10 입니다.
따라서 x+2y의 최댓값은 10, 최솟값은 -10 입니다.
2. ax+by 값이 주어지고 x2+y2의 최솟값 구하기
예제 2: 실수 x, y에 대하여 3x + 4y = 10일 때, x2 + y2의 최솟값을 구하시오. (PDF 예제)
코시-슈바르츠 부등식 (a2+b2)(x2+y2) ≥ (ax+by)2에서, 주어진 조건은 3x+4y=10입니다.
따라서 부등식의 a=3, b=4로 생각하고, 구하려는 것은 x2+y2의 최솟값입니다.
(32 + 42)(x2 + y2) ≥ (3x + 4y)2
(9 + 16)(x2 + y2) ≥ (10)2
25(x2 + y2) ≥ 100
양변을 25로 나누면:
x2 + y2 ≥ 100⁄25
x2 + y2 ≥ 4
따라서 x2+y2의 최솟값은 4 입니다.
🧐 개념확인 문제: 코시-슈바르츠 부등식 적용!
이제 배운 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 문제를 풀어봅시다!
실수 x, y에 대하여 x2 + y2 = 18일 때, x + y의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 하자. 이때 M-m의 값을 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
구하려는 식은 x+y = 1 \cdot x + 1 \cdot y 입니다. 코시-슈바르츠 부등식에서 a=1, b=1로 놓습니다.
(12 + 12)(x2 + y2) ≥ (1 \cdot x + 1 \cdot y)2
주어진 조건 x2+y2=18을 대입하면:
(1 + 1)(18) ≥ (x+y)2
(2)(18) ≥ (x+y)2
36 ≥ (x+y)2
즉, (x+y)2 \le 36 입니다.
따라서 -6 \le x+y \le 6 입니다.
x+y의 최댓값 M = 6, 최솟값 m = -6 입니다.
구하는 값 M-m = 6 – (-6) = 6 + 6 = 12 입니다.
문제에서 주어진 식의 형태와 구하려는 식의 형태를 잘 보고, 코시-슈바르츠 부등식의 a,b,x,y에 어떤 값을 대입해야 할지 파악하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 실수 조건에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 다양한 예제들을 살펴보았습니다. (a2+b2)(x2+y2) ≥ (ax+by)2라는 부등식의 구조를 잘 이해하고, 문제의 조건에 맞게 a,b,x,y를 설정하는 연습이 중요했죠? 이 부등식은 산술-기하 평균 관계와 함께 최대·최소 문제를 해결하는 강력한 도구이니 꼭 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 단원에서는 ‘함수’의 세계로 본격적으로 떠나보겠습니다! 🚀