점 또는 도형을 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동할 때의 좌표 및 방정식 변환은 다음과 같아요.

1. 점 P(x,y)를 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 점 P'(x’,y’)의 좌표:
   P'(2a-x, 2b-y)

   (이동 후 x좌표 = 2\times(대칭 중심 x좌표) – 원래 x좌표)

   (이동 후 y좌표 = 2\times(대칭 중심 y좌표) – 원래 y좌표)

2. 도형 f(x,y)=0을 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식:
   f(2a-x, 2b-y) = 0

   (원래 방정식의 x 대신 (2a-x)를, y 대신 (2b-y)를 대입!)

개념정리 139-1: 대칭의 중심이 중점이 된다!

평면 위의 한 점 P를 다른 고정된 점 A에 대하여 대칭이동한다는 것은, 점 A를 기준으로 점 P와 같은 거리에 있으면서 정반대 방향에 있는 점 P’으로 옮기는 것을 의미해요.

이때 가장 중요한 성질은, 대칭의 중심이 되는 점 A가 원래 점 P와 대칭이동된 점 P’을 잇는 선분 PP’의 중점이 된다는 것입니다.

즉, PA = AP’이고, 세 점 P, A, P’은 한 직선 위에 있게 됩니다.

개념정리 139-2: 중점 공식을 거꾸로 생각하기!

점 P(x,y)를 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’, y’)이라고 합시다.

앞에서 말했듯이, 점 A는 선분 PP’의 중점이 됩니다. 중점의 좌표는 각 좌표 성분의 평균으로 구하므로 다음이 성립해요.

a = ^{(x + x’)}⁄₂

b = ^{(y + y’)}⁄₂

이제 이 두 식을 각각 x’과 y’에 대하여 정리하면 대칭이동된 점의 좌표를 얻을 수 있습니다.

2a = x + x’ ⇒ x’ = 2a – x

2b = y + y’ ⇒ y’ = 2b – y

따라서 점 P(x,y)를 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 점 P’의 좌표는 (2a-x, 2b-y)가 됩니다!

개념정리 139-3: x 대신 2a-x, y 대신 2b-y 대입!

방정식 f(x,y)=0이 나타내는 도형을 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구해봅시다.

원래 도형 위의 임의의 점을 P(x,y)라고 하고, 이 점을 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’,y’)이라고 하면, 위에서 구한 관계에 의해

x’ = 2a – x ⇒ x = 2a – x’

y’ = 2b – y ⇒ y = 2b – y’

입니다.

점 P(x,y)는 도형 f(x,y)=0 위의 점이므로, 이 방정식에 x=2a-x’과 y=2b-y’을 대입하면 성립해야 해요.

f(2a-x’, 2b-y’) = 0

이것이 바로 대칭이동된 도형 위의 점 P'(x’,y’)이 만족하는 방정식입니다! 이제 x’, y’을 일반적인 좌표 변수 x, y로 바꾸어 써주면, 점 A(a,b)에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같이 됩니다.

f(2a-x, 2b-y) = 0