원 밖의 한 점 (a,b)에서 원에 그은 접선의 방정식을 구하는 방법은 주로 다음 세 가지가 사용돼요.

1. 방법 1: 원 위의 점(접점)에서의 접선의 방정식 이용
   • 접점의 좌표를 (x₁, y₁)으로 놓고, 원 위의 점에서의 접선 공식을 사용해요.
   • 이 접선이 주어진 원 밖의 점 (a,b)를 지나는 조건과 접점 (x₁, y₁)이 원 위의 점이라는 조건을 연립하여 x₁, y₁을 구한 후 접선의 방정식을 완성해요.
2. 방법 2: 원의 중심과 접선 사이의 거리 = 반지름 (d=r) 이용
   • 구하는 접선의 기울기를 m으로 놓고, 점 (a,b)를 지나는 직선의 방정식(y-b=m(x-a))을 세워요.
   • 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같다는 조건(d=r)을 이용하여 m의 값을 구해요. (보통 m값이 두 개 나옵니다.)
   • 구한 m값을 직선의 방정식에 대입하여 접선의 방정식을 완성해요.
3. 방법 3: 판별식 D=0 이용
   • 구하는 접선의 기울기를 m으로 놓고, 점 (a,b)를 지나는 직선의 방정식(y-b=m(x-a))을 세워요.
   • 이 직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만들어요.
   • 원과 직선이 접하므로 이 이차방정식의 판별식 D=0임을 이용하여 m의 값을 구해요. (보통 m값이 두 개 나옵니다.)
   • 구한 m값을 직선의 방정식에 대입하여 접선의 방정식을 완성해요.

이 세 가지 방법을 모두 알고 있으면 문제 상황에 따라 가장 편리한 방법을 선택할 수 있어요!

개념정리 131-1: 항상 두 개를 그을 수 있다!

원의 외부에 한 점 P가 주어졌을 때, 이 점 P에서 원에 그을 수 있는 접선은 항상 두 개가 존재해요. 그리고 각 접선마다 원과 만나는 접점도 각각 하나씩 생기겠죠.

우리의 목표는 이 두 개의 접선의 방정식을 모두 찾는 것입니다. 세 가지 방법 모두 결국 두 개의 접선(또는 두 개의 기울기 값)을 찾아낼 수 있도록 도와줄 거예요.

개념정리 131-2: 미지의 접점부터 설정!

이 방법은 원 위의 점에서의 접선 공식을 역으로 활용하는 아이디어예요.

[풀이 단계] (원 x²+y²=r², 원 밖의 점 P(a,b))

1. 원의 접점의 좌표를 T(x₁, y₁)으로 놓아요.
2. 점 T에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = r² 입니다. (130번 내용)
3. 이 접선이 원 밖의 점 P(a,b)를 지나므로, 대입하면 ax₁ + by₁ = r² ··· ① 이라는 식을 얻어요.
4. 또한, 접점 T(x₁, y₁)은 원 x²+y²=r² 위의 점이므로 x₁² + y₁² = r² ··· ② 가 성립해요.
5. 식 ①과 ②를 연립하여 x₁과 y₁의 값을 구해요. (보통 두 쌍이 나옵니다.)
6. 구한 (x₁, y₁) 값을 2단계의 접선 방정식에 각각 대입하여 두 개의 접선의 방정식을 구해요.

개념정리 131-3: 기울기 m을 찾아라!

이 방법은 원과 직선이 접할 조건인 “원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름의 길이와 같다(d=r)”를 이용해요.

[풀이 단계] (원 (x-h)²+(y-k)²=r², 원 밖의 점 P(a,b))

1. 구하는 접선이 점 P(a,b)를 지나고 기울기를 m이라고 하면, 접선의 방정식은 y – b = m(x – a), 즉 mx – y – ma + b = 0으로 놓을 수 있어요. (단, y축에 평행한 접선 x=a는 이 형태로 표현되지 않으므로 따로 확인 필요)
2. 원의 중심 C(h,k)에서 이 직선까지의 거리 d가 원의 반지름 r과 같아야 하므로, d=r이라는 식을 세워요.
   d = ^{|m(h) – (k) – ma + b|}&frasL;_{√(m² + (-1)²)} = r
3. 이 방정식을 풀어 m의 값을 구해요. (보통 m에 대한 이차방정식이 되어 두 개의 m 값이 나옵니다.)
4. 구한 m 값을 1단계의 직선의 방정식에 대입하여 두 개의 접선의 방정식을 구해요.
5. (만약 m값이 하나만 나오거나 해가 없다면, y축에 평행한 접선 x=a가 다른 하나의 접선이 되는지 그림을 통해 확인해야 해요. – PDF에서는 이 경우를 잘 다루지 않지만, 일반적인 풀이 시 주의사항입니다.)

개념정리 131-4: 연립 이차방정식의 중근 조건!

이 방법은 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식이 중근을 가질 조건(D=0)을 이용해요.

[풀이 단계] (원 (x-h)²+(y-k)²=r², 원 밖의 점 P(a,b))

1. 구하는 접선이 점 P(a,b)를 지나고 기울기를 m이라고 하면, 접선의 방정식은 y – b = m(x – a)로 놓아요.
2. 이 직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식으로 정리해요.
3. 원과 직선이 접하므로 이 이차방정식은 중근을 가져야 해요. 따라서 판별식 D=0임을 이용하여 m의 값을 구해요. (보통 m에 대한 이차방정식이 되어 두 개의 m 값이 나옵니다.)
4. 구한 m 값을 1단계의 직선의 방정식에 대입하여 두 개의 접선의 방정식을 구해요.
5. (마찬가지로 m값이 하나만 나오거나 해가 없다면, y축에 평행한 접선 x=a를 고려해야 합니다.)

판별식을 이용하는 방법은 계산이 다소 복잡해질 수 있지만, 원리가 명확하다는 장점이 있어요.