원 x² + y² = r² (r > 0)에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 다음과 같아요.

하나의 기울기에 대해 두 개의 접선이 존재하며, 이 두 접선은 y절편의 부호만 서로 반대랍니다!

주의! 이 공식은 원의 중심이 원점 (0,0)일 때만 바로 사용할 수 있어요. 만약 원의 중심이 원점이 아니라면, 원과 직선을 평행이동하거나 다른 방법을 사용해야 합니다. (다음 포스팅에서 더 자세히!)

개념정리 129-1: 원에 스치는 두 개의 평행선!

원의 중심이 원점 O(0,0)이고 반지름이 r인 원 x² + y² = r²을 생각해 봅시다. 이 원에 접하면서 기울기가 m으로 정해진 직선은 몇 개나 있을까요?

기울기가 m으로 같다는 것은 두 직선이 서로 평행하다는 뜻이죠. 원의 위쪽과 아래쪽에서 각각 하나씩, 총 두 개의 접선이 존재하게 됩니다. 이 두 접선은 서로 평행하며, y절편의 절댓값은 같고 부호만 반대인 형태를 가져요.

오늘 배울 공식은 바로 이 두 개의 접선의 방정식을 한 번에 나타내 주는 편리한 공식이랍니다!

개념정리 129-2: 판별식 또는 점과 직선 사이 거리 이용!

원 x²+y²=r²에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식을 구하는 방법은 크게 두 가지가 있어요.

방법 1: 판별식 D=0 이용하기

1. 구하는 직선의 방정식을 기울기가 m이므로 y = mx + n으로 놓아요. (y절편 n은 아직 모름)
2. 이 직선의 방정식을 원의 방정식 x²+y²=r²에 대입하여 x에 대한 이차방정식을 만들어요.
   x² + (mx+n)² = r²
   x² + m²x² + 2mnx + n² = r²
   (1+m²)x² + 2mnx + (n²-r²) = 0
3. 원과 직선이 접하므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 해요. 따라서 판별식 D=0 (또는 짝수 판별식 D/4=0)을 이용해요.
   D/4 = (mn)² – (1+m²)(n²-r²) = 0
   m²n² – (n² – r² + m²n² – m²r²) = 0
   m²n² – n² + r² – m²n² + m²r² = 0
   -n² + r² + m²r² = 0
   n² = r²(1+m²)
   따라서 n = ±r√(1+m²)
4. 구한 n을 y=mx+n에 대입하면 공식 y = mx ± r√(1+m²)을 얻습니다!

방법 2: 원의 중심과 접선 사이의 거리 = 반지름 (d=r) 이용하기

1. 구하는 직선의 방정식을 y = mx + n, 즉 일반형으로 바꾸면 mx – y + n = 0으로 놓아요.
2. 원 x²+y²=r²의 중심은 원점 (0,0)이고 반지름은 r입니다.
3. 원과 직선이 접하므로, 원의 중심 (0,0)에서 직선 mx-y+n=0까지의 거리 d가 반지름 r과 같아야 해요 (d=r).
   d = ^{|m(0) – (0) + n|}⁄_{√(m² + (-1)²)} = ^|n|⁄_{√(m² + 1)}
4. ^|n|⁄_{√(m² + 1)} = r 이므로, |n| = r√(m²+1).
   따라서 n = ±r√(m²+1)
5. 구한 n을 y=mx+n에 대입하면 공식 y = mx ± r√(1+m²)을 얻습니다!

두 방법 모두 같은 결과를 주지만, 일반적으로 점과 직선 사이의 거리를 이용하는 방법이 계산이 더 간편할 때가 많아요.