미지수가 2개인 연립이차방정식은 차수가 가장 높은 방정식이 이차방정식인 경우를 말하며, 주로 다음 두 가지 형태로 나타나고 각기 다른 풀이법을 사용해요.

1. 유형 1: { ^{(일차식) = 0}_{(이차식) = 0} 꼴
   • 일차방정식을 한 미지수에 대해 정리한 후, 그 식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 풀어요.
2. 유형 2: { ^{(이차식) = 0}_{(이차식) = 0} 꼴
   • 두 이차방정식 중 어느 하나가 두 일차식의 곱으로 인수분해되면, (AB=0 \implies A=0 \text{ 또는 } B=0)
     그로부터 얻은 각 일차방정식을 다른 하나의 이차방정식과 연립하여 풀어요 (유형 1의 방법 반복).
   • 만약 인수분해되는 식이 없다면? (이 내용은 특강 076에서 다룹니다!)
     • 이차항을 소거하여 일차방정식을 만들거나,
     • 상수항을 소거하여 인수분해 가능한 새로운 이차방정식을 만들어 풀어요.

궁극적인 목표는 일차식을 만들어 대입함으로써 풀 수 있는 형태로 바꾸는 것이랍니다!

개념정리 75-1: 이차식을 포함한 연립방정식

미지수가 2개인 연립방정식 중에서, 그 연립방정식을 구성하는 방정식들 중 차수가 가장 높은 방정식이 이차방정식일 때, 우리는 이것을 미지수가 2개인 연립이차방정식이라고 불러요.

예를 들어,

{ ^{x – y = 1   (일차)}_{x² + y² = 5   (이차)}

와 같은 형태나,

{ ^{x2 – 3xy + 2y2 = 0   (이차)}_{2x² + 5xy – y² = 1   (이차)}

와 같은 형태가 모두 연립이차방정식에 해당합니다.

우리의 목표는 이 두 방정식을 동시에 만족시키는 x, y 값들의 쌍(해)을 찾는 것입니다.

개념정리 75-2: 한 방에 ‘쏙’ 대입하기!

일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식을 푸는 가장 기본적인 방법은 일차방정식을 한 미지수에 대하여 정리한 후, 그 식을 이차방정식에 대입하는 것입니다.

[풀이 단계]

1. 일차방정식을 y = (\text{x에 대한 식}) 또는 x = (\text{y에 대한 식}) 꼴로 정리합니다.
2. 이 정리된 식을 이차방정식에 대입합니다. 그러면 하나의 미지수만 남은 이차방정식이 됩니다.
3. 새로 얻은 이차방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다. (보통 두 개의 해가 나옵니다.)
4. 구한 각각의 해를 1단계에서 정리했던 일차식에 다시 대입하여 나머지 미지수의 값을 구합니다. 이렇게 해서 해의 쌍(x,y)을 얻습니다.

개념정리 75-3: 인수분해하여 일차식 만들기!

두 이차방정식으로 이루어진 연립방정식은, 두 이차방정식 중 어느 하나가 두 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우에 해결할 수 있는 실마리를 찾을 수 있어요.

[풀이 단계]

1. 두 이차방정식 중 인수분해가 가능한 식을 찾아 A \cdot B = 0 꼴로 인수분해합니다. (A, B는 x, y에 대한 일차식)
2. A \cdot B = 0이므로, A=0 또는 B=0이라는 두 개의 일차방정식을 얻습니다.
3. 각각의 일차방정식을 다른 하나의 원래 이차방정식과 연립하여 풉니다. (이것은 ‘유형 1’의 풀이 방법과 동일합니다.)
4. 모든 경우에서 나온 해를 종합하여 최종 답을 구합니다.