117 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식: k를 활용한 마법! 🪄
안녕하세요, 직선의 교차점을 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 (ax+by+c)+k(a’x+b’y+c’)=0 형태의 방정식이 k의 값에 관계없이 항상 두 직선 ax+by+c=0과 a’x+b’y+c’=0의 교점(정점)을 지난다는 것을 배웠어요. 오늘은 이 원리를 활용하여, 두 직선의 교점을 지나는 또 다른 직선의 방정식을 어떻게 세울 수 있는지 알아볼 거예요. 이 방법은 두 직선의 교점을 직접 구하지 않고도 그 교점을 지나는 무수히 많은 직선들을 하나의 식으로 표현할 수 있게 해주는 아주 강력한 도구랍니다! 함께 그 마법 같은 표현법을 익혀볼까요? ✨
📝 핵심만정리: 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식!
한 점에서 만나는 두 직선 l: ax+by+c=0과 l’: a’x+b’y+c’=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있어요.
- 방법 1 (일반적인 표현): 동시에 0이 아닌 임의의 상수 m, n에 대하여,
m(ax+by+c) + n(a’x+b’y+c’) = 0
이 형태는 두 직선 l과 l’을 포함하여 교점을 지나는 모든 직선을 나타낼 수 있어요. - 방법 2 (k를 이용한 표현):
(ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0 (단, k는 실수)
이 형태는 두 직선의 교점을 지나는 직선들 중, 직선 l’: a’x+b’y+c’=0 자체는 표현할 수 없어요 (왜냐하면 k가 어떤 값을 갖더라도 a’x+b’y+c’=0이 되려면 ax+by+c 부분이 0이 되어야 하는데, 그러면 l과 l’이 일치하는 특수한 경우가 되기 때문입니다. 또는, 이 식은 m \ne 0일 때 방법 1의 식 양변을 m으로 나누고 n/m = k로 둔 것과 같아요. )
하지만 문제 풀이에서는 보통 이 k를 이용한 형태가 더 자주 사용됩니다.
이 방정식들은 두 직선의 교점을 대입하면 0 + k \cdot 0 = 0 (또는 m \cdot 0 + n \cdot 0 = 0) 꼴이 되어 항상 성립하기 때문에 교점을 반드시 지나게 됩니다.
🤔 두 직선의 교점을 지나는 직선이란?
개념정리 117-1: 한 점을 지나는 무수히 많은 직선들!
좌표평면 위에서 한 점에서 만나는 두 직선 l과 l’을 생각해 보세요. 이 두 직선은 오직 하나의 교점을 갖죠? 그런데 이 교점을 지나는 직선은 몇 개나 될까요?
맞아요, 그 교점을 지나는 직선은 무수히 많아요! 마치 바람개비의 중심축을 지나며 돌아가는 날개들처럼, 그 교점을 중심으로 수많은 직선들이 지나갈 수 있답니다.
오늘 배울 내용은 바로 이 “두 직선의 교점을 지나는 무수히 많은 직선들”을 하나의 방정식 형태로 표현하는 방법에 대한 것이에요. 이 방법을 사용하면, 두 직선의 교점을 직접 구하지 않고도 그 교점을 지나는 특정 조건을 만족하는 직선의 방정식을 쉽게 찾을 수 있게 됩니다.
🛠️ k를 이용한 표현법: (ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0
개념정리 117-2: k의 값에 따라 변하는 직선들!
한 점에서 만나는 두 직선
l: ax+by+c=0
l’: a’x+b’y+c’=0
의 교점을 지나는 (직선 l’을 제외한) 직선의 방정식은 실수 k를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있어요.
(ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0
이 식이 왜 두 직선의 교점을 항상 지나는지 다시 한번 생각해 볼까요?
두 직선 l과 l’의 교점을 P(x0, y0)라고 하면, 이 점은 두 직선 위에 모두 있으므로 다음 두 등식이 성립해요.
- ax0 + by0 + c = 0
- a’x0 + b’y0 + c’ = 0
이제 점 P의 좌표 (x0, y0)를 위 k를 포함한 방정식에 대입해 보면,
(ax0+by0+c) + k(a’x0+b’y0+c’) = (0) + k(0) = 0
이처럼 k의 값에 관계없이 항상 0=0이 되어 등식이 성립하죠? 따라서 이 방정식은 k의 값에 관계없이 항상 두 직선 l과 l’의 교점을 지나는 직선을 나타냅니다.
예시: 두 직선 2x-y+5=0과 x-3y-5=0의 교점과 원점(0,0)을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다. (PDF Check 문제)
1. k를 이용한 식 세우기:
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (단, 직선 x-3y-5=0은 원점을 지나지 않으므로 이 형태로 표현 가능 )
(2x-y+5) + k(x-3y-5) = 0 (k는 실수) 로 놓을 수 있습니다.
2. 주어진 다른 한 점(원점) 대입하여 k 값 구하기:
이 직선이 원점 (0,0)을 지나므로, x=0, y=0을 대입하면 성립해야 해요.
(2(0)-(0)+5) + k((0)-3(0)-5) = 0
(0-0+5) + k(0-0-5) = 0
5 + k(-5) = 0 ⇒ 5 – 5k = 0 ⇒ 5k = 5 ⇒ k = 1.
3. k 값을 대입하여 직선의 방정식 완성하기:
k=1을 원래 식에 대입하면,
(2x-y+5) + 1(x-3y-5) = 0
2x-y+5 + x-3y-5 = 0
3x – 4y = 0
따라서 구하는 직선의 방정식은 3x – 4y = 0 입니다.
어떤 직선을 k 뒤에 놓아야 할까요? 🤔
(ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0 형태로 식을 세울 때, k 뒤에 오는 직선(a’x+b’y+c’=0)은 이 형태로 표현할 수 없는 유일한 직선이에요. 따라서 문제에서 구하려는 직선이 a’x+b’y+c’=0이 아니라는 확신이 있을 때 이 형태를 사용하거나, 또는 그 직선이 문제의 조건을 만족하지 않는지 확인하는 과정이 필요할 수 있어요.
일반적으로는 두 직선 중 어느 것을 k 뒤에 놓아도, 추가로 지나는 점을 대입했을 때 모순이 생기지 않는 한 원하는 직선을 구할 수 있습니다.
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시가 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 k를 이용하여 세우고, 주어진 다른 한 점을 대입하여 k값을 결정하는 과정을 잘 보여주고 있습니다. 핵심은 두 직선의 교점을 직접 구하지 않고도 그 교점을 지나는 다른 직선의 방정식을 구할 수 있다는 점이에요!
오늘은 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 (ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0이라는 멋진 형태로 표현하는 방법을 배웠습니다. 이 식은 k값에 따라 교점을 지나는 무수히 많은 직선들을 나타내며, 주어진 또 다른 조건을 이용하여 k값을 결정하면 원하는 특정 직선의 방정식을 구할 수 있었죠? 이 방법은 연립방정식을 직접 풀어 교점을 구하는 번거로움을 줄여주는 아주 유용한 기술이랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식에 대해 알아보겠습니다. 📏