서로 다른 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식은 다음 두 가지 경우로 나누어 생각해요.

1. x₁ ≠ x₂ 일 때 (두 점의 x좌표가 다를 때, 즉 y축에 평행하지 않을 때):
   기울기 m = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)} 이므로, 직선의 방정식은
   y – y₁ = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)} (x – x₁)
   (또는 점 B를 이용하여 y – y₂ = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)} (x – x₂)로 세워도 결과는 같아요!)
2. x₁ = x₂ 일 때 (두 점의 x좌표가 같을 때, 즉 y축에 평행할 때):
   직선의 방정식은 x = x₁ (또는 x = x₂) 입니다.

개념정리 110-1: 두 점으로 기울기 구하기!

좌표평면 위에 서로 다른 두 점 A(x₁, y₁)과 B(x₂, y₂)가 있다면, 이 두 점은 유일한 직선 하나를 결정해요. 이 직선의 방정식을 구하기 위해 가장 먼저 필요한 정보 중 하나는 바로 기울기입니다.

두 점의 x좌표가 서로 다를 때 (x₁ ≠ x₂), 두 점을 지나는 직선의 기울기 m은 다음과 같이 구할 수 있었죠?

m = ^{(y의 변화량)}⁄_{(x의 변화량)} = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)}

이렇게 기울기를 구하고 나면, 우리는 이제 “한 점(A 또는 B)과 기울기 m을 아는 상황”이 되므로, 이전 시간에 배운 y – y₁ = m(x – x₁) 공식을 바로 사용할 수 있게 됩니다!

개념정리 110-2: x₁ = x₂일 때와 아닐 때!

서로 다른 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식을 구하는 과정은 두 점의 x좌표가 같은지 다른지에 따라 두 가지 경우로 나누어 생각해요.

1. x₁ ≠ x₂ 일 때 (두 점의 x좌표가 다를 때)

이 경우에는 직선의 기울기 m = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)}을 계산할 수 있어요.

그리고 이 직선은 점 A(x₁, y₁)을 지나므로, 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식 공식 y – y₁ = m(x – x₁)에 m을 대입하면,

y – y₁ = ^{(y₂ – y₁)}⁄_{(x2 – x1)} (x – x₁)

이 됩니다. (물론 점 B를 기준으로 y – y₂ = m(x – x₂)로 세워도 결과는 같아요!)

2. x₁ = x₂ 일 때 (두 점의 x좌표가 같을 때)

만약 두 점의 x좌표가 같다면, 예를 들어 A(x₁, y₁)과 B(x₁, y₂) (y₁ ≠ y₂)라면, 이 두 점을 지나는 직선은 y축에 평행한 (x축에 수직인) 직선이 됩니다.

이 직선 위의 모든 점들은 x좌표가 항상 x₁으로 일정하므로, 직선의 방정식은 아주 간단하게

x = x₁

이 됩니다. (이 경우 기울기는 정의되지 않아요.)