좌표평면 위의 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 다음과 같아요.

즉, 무게중심의 x좌표는 세 꼭짓점의 x좌표의 평균이고, y좌표는 세 꼭짓점의 y좌표의 평균이랍니다! 아주 간단하죠?

개념정리 106-1: 세 중선의 교점, 2:1 내분점!

다시 한번 기억을 되살려 볼까요? 삼각형의 무게중심(G)은 다음과 같은 특징을 가져요.

• 정의: 삼각형의 세 중선이 만나는 점. (중선: 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분)
• 성질: 무게중심은 각 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 2:1로 내분해요. 예를 들어, 변 BC의 중점을 M이라고 할 때, 중선 AM 위에서 AG : GM = 2 : 1이 성립합니다.

이 “2:1 내분”이라는 성질이 바로 무게중심 좌표 공식을 유도하는 핵심 열쇠가 된답니다!

개념정리 106-2: 중점 찾고, 2:1 내분점 찾고!

좌표평면 위의 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구해봅시다.

1단계: 변 BC의 중점 M의 좌표 구하기

변 BC의 중점 M의 좌표(x’, y’)는 중점 좌표 공식을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있어요.

x’ = \frac{x₂ + x₃}{2}

y’ = \frac{y₂ + y₃}{2}

따라서 M2 + x₃}{2}, \frac{y₂ + y₃}{2}\right) 입니다.

2단계: 중선 AM을 2:1로 내분하는 점 G의 좌표 구하기

무게중심 G는 중선 AM을 꼭짓점 A로부터 2:1로 내분하는 점이에요. 즉, AG : GM = 2 : 1 입니다.

두 점 A(x₁, y₁)과 M(x’, y’)을 2:1로 내분하는 점 G의 좌표(x, y)는 내분점 좌표 공식을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다.

x = \frac{2 \cdot x’ + 1 \cdot x₁}{2+1} = \frac{2x’ + x₁}{3}

y = \frac{2 \cdot y’ + 1 \cdot y₁}{2+1} = \frac{2y’ + y₁}{3}

이제 위에서 구한 x’과 y’을 대입하면,

x = \frac{2 \cdot \left(\frac{x₂ + x₃}{2}\right) + x₁}{3} = \frac{(x₂ + x₃) + x₁}{3} = \frac{x₁ + x₂ + x₃}{3}

y = \frac{2 \cdot \left(\frac{y₂ + y₃}{2}\right) + y₁}{3} = \frac{(y₂ + y₃) + y₁}{3} = \frac{y₁ + y₂ + y₃}{3}

따라서 무게중심 G의 좌표는 다음과 같습니다:

G1 + x₂ + x₃}{3}, \frac{y₁ + y₂ + y₃}{3}\right)

정말 간단하게 세 꼭짓점 좌표의 평균으로 나오죠?