096 이차부등식이 항상 성립할 조건: 그래프가 x축 위에 붕~ 뜨려면? 🎈
안녕하세요, 부등식의 절대적인 진리를 탐구하는 친구들! 👋 이차부등식을 풀다 보면, 해가 특정 범위로 나오는 경우도 있지만, 때로는 “모든 실수 x에 대하여 항상 성립“하거나 반대로 “항상 성립하지 않아 해가 없는” 특별한 경우들을 만나게 돼요. 오늘은 바로 이 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하기 위한 조건이 무엇인지, 그리고 그 조건을 이차함수의 그래프와 판별식을 이용하여 어떻게 이해할 수 있는지 알아볼 거예요. 마치 어떤 조건에서든 하늘 위로 붕 떠 있는 풍선처럼, 이차함수 그래프가 항상 x축 위에 있거나 아래에 있기 위한 비밀을 함께 파헤쳐 볼까요? 🚀
📝 핵심만정리: 이차부등식, 언제나 참이 되려면?
이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하기 위한 조건은 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프의 모양(a의 부호)과 x축과의 위치 관계(판별식 D = b2-4ac의 부호)에 의해 결정돼요.
- 1. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c > 0일 조건:
→ a > 0 (아래로 볼록) 이고 D < 0 (x축과 만나지 않음) - 2. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c ≥ 0일 조건:
→ a > 0 (아래로 볼록) 이고 D ≤ 0 (x축과 접하거나 만나지 않음) - 3. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c < 0일 조건:
→ a < 0 (위로 볼록) 이고 D < 0 (x축과 만나지 않음) - 4. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c ≤ 0일 조건:
→ a < 0 (위로 볼록) 이고 D ≤ 0 (x축과 접하거나 만나지 않음)
이 조건들을 무작정 외우기보다는 그래프를 그려서 이해하는 것이 훨씬 좋아요!
🤔 이차부등식이 항상 성립한다는 것은 무슨 의미일까요?
개념정리 96-1: 모든 x에 대한 진리!
어떤 이차부등식이 “모든 실수 x에 대하여 성립한다” 또는 “x의 값에 관계없이 항상 성립한다”는 것은, 미지수 x에 어떤 실수를 대입하더라도 그 부등식이 항상 참이 된다는 뜻이에요. 이런 부등식을 절대부등식의 한 종류로 볼 수도 있습니다.
이것을 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프 관점에서 생각해보면 이해하기 쉬워요.
- ax2 + bx + c > 0이 항상 성립하려면: 함수 y = ax2+bx+c의 그래프가 모든 실수 x에 대하여 x축보다 항상 위쪽에 그려져야 해요.
- ax2 + bx + c < 0이 항상 성립하려면: 함수 y = ax2+bx+c의 그래프가 모든 실수 x에 대하여 x축보다 항상 아래쪽에 그려져야 해요.
(부등호에 등호가 포함되면, 그래프가 x축에 접하는 경우까지 포함해서 생각하면 됩니다. )
📊 그래프와 판별식으로 조건 찾기: a와 D의 역할!
개념정리 96-2: 그래프 모양과 x축과의 만남!
이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하기 위한 조건은 이차함수 y = ax2+bx+c의 그래프 모양을 결정하는 a의 부호와, 그래프와 x축의 교점 개수를 결정하는 판별식 D=b2-4ac의 부호를 함께 고려하여 찾을 수 있어요.
1. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c > 0일 조건
그래프 전체가 x축보다 위에 있으려면, 그래프는 아래로 볼록해야 하고(a > 0), x축과 만나지 않아야 해요(D < 0).
따라서 조건은 a > 0 이고 D < 0 입니다.
2. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c ≥ 0일 조건
그래프 전체가 x축보다 위쪽에 있거나 x축에 접하려면, 그래프는 아래로 볼록해야 하고(a > 0), x축과 접하거나 만나지 않아야 해요(D \le 0).
따라서 조건은 a > 0 이고 D \le 0 입니다.
3. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c < 0일 조건
그래프 전체가 x축보다 아래에 있으려면, 그래프는 위로 볼록해야 하고(a < 0), x축과 만나지 않아야 해요(D < 0).
따라서 조건은 a < 0 이고 D < 0 입니다.
4. 모든 실수 x에 대하여 ax2 + bx + c ≤ 0일 조건
그래프 전체가 x축보다 아래쪽에 있거나 x축에 접하려면, 그래프는 위로 볼록해야 하고(a < 0), x축과 접하거나 만나지 않아야 해요(D \le 0).
따라서 조건은 a < 0 이고 D \le 0 입니다.
그래프를 먼저 떠올리세요! 🎨
이 조건들을 단순히 암기하기보다는, 각 부등식이 의미하는 그래프의 상황(x축보다 항상 위에 있는지, 항상 아래에 있는지, 접해도 되는지 등)을 먼저 머릿속에 그려보고, 그 상황에 맞는 a의 부호와 판별식 D의 조건을 생각해내는 연습을 하는 것이 훨씬 효과적이에요!
🧐 개념확인 문제: 항상 성립하는 부등식 조건 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 이차부등식이 모든 실수에 대해 항상 성립하도록 하는 미지의 상수 값의 범위를 구해봅시다!
모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x2 + kx + 2 > 0이 성립할 때, 실수 k의 값의 범위를 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
주어진 이차부등식 x2 + kx + 2 > 0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면, 이차함수 y = x2 + kx + 2의 그래프가 x축보다 항상 위쪽에 있어야 합니다.
이를 위한 조건은 두 가지입니다:
- 이차항의 계수가 양수일 것 (a > 0):
주어진 식에서 이차항의 계수는 1이므로, 1 > 0을 만족합니다. (즉, 그래프는 아래로 볼록합니다.) - 판별식 D < 0일 것 (x축과 만나지 않아야 함):
이차방정식 x2 + kx + 2 = 0의 판별식 D를 계산하면,
D = k2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = k2 – 8 입니다.
이 판별식이 0보다 작아야 하므로, k2 – 8 < 0 입니다.
부등식 k2 – 8 < 0을 풀면:
k2 < 8
-\sqrt{8} < k < \sqrt{8}
-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}
두 조건을 모두 만족해야 하므로 (a=1>0은 이미 만족), 구하는 k의 값의 범위는 -2√2 < k < 2√2 입니다.
이차부등식이 항상 성립할 조건을 묻는 문제는 이차함수의 그래프와 판별식을 정확히 이해하고 적용하는 능력을 요구하는 중요한 유형이랍니다! 😉
오늘은 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하기 위한 조건을 이차함수의 그래프 모양과 x축과의 위치 관계, 그리고 판별식을 이용하여 알아보았습니다. ax2+bx+c > 0이 항상 성립하려면 그래프가 x축 위에 붕 떠 있는 아래로 볼록한 모양(a>0, D<0)이어야 했고, ax2+bx+c < 0이 항상 성립하려면 그래프가 x축 아래에 가라앉은 위로 볼록한 모양(a<0, D<0)이어야 했죠. 이 조건들을 그래프와 함께 이해하면 더 오래 기억할 수 있을 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 여러 개의 이차부등식을 동시에 만족하는 해를 찾는 ‘연립이차부등식’에 대해 알아보겠습니다. 🔗