090 이차부등식이란? 좌변은 이차식, 우변은 0! 📐
안녕하세요, 부등식의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 일차방정식 다음에는 이차방정식을 배웠듯이, 일차부등식 다음에는 어떤 부등식이 나올까요? 맞아요, 바로 이차부등식이랍니다! 이차부등식은 부등식의 모든 항을 한쪽으로 이항하여 정리했을 때, x에 대한 이차식의 형태를 갖는 부등식을 말해요. 오늘은 이 이차부등식이 정확히 무엇인지, 그리고 어떤 형태를 가져야 이차부등식이라고 부를 수 있는지 그 정의를 확실하게 알아볼 거예요. 이차함수의 그래프와도 아주 밀접한 관련이 있답니다! 함께 시작해 볼까요? 😊
📝 핵심만정리: 이차부등식, 이것만 기억하세요!
이차부등식이란, 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 미지수 x에 대한 이차식이 되는 부등식을 말해요.
일반적으로 다음과 같은 네 가지 형태 중 하나로 표현됩니다. (단, a, b, c는 상수이고, 가장 중요한 조건은 a ≠ 0 입니다!)
- ax2 + bx + c > 0
- ax2 + bx + c ≥ 0
- ax2 + bx + c < 0
- ax2 + bx + c ≤ 0
가장 높은 차수의 항, 즉 x2항의 계수 a가 0이 아니어야 한다는 점이 이차방정식과 마찬가지로 매우 중요해요!
🤔 이차부등식이란 무엇일까요? ((이차식) > 0 꼴 등)
개념정리 90-1: 이차식으로 이루어진 부등식
부등식은 부등호(<, >, \le, \ge)를 사용하여 수나 식의 대소 관계를 나타낸 식이라고 했죠? 이 부등식에서, 모든 항을 한쪽 변(보통 좌변)으로 옮겨서 정리했을 때, 그 좌변이 x에 대한 이차식 (ax2+bx+c 꼴, 단 a \ne 0)의 형태를 가지면, 그 부등식을 바로 x에 대한 이차부등식이라고 불러요.
예를 들어,
- -2x2 – 3 > 0 (정리된 형태)
- x2 + 2x ≥ 2 ⇒ x2 + 2x – 2 ≥ 0 (정리 후 이차부등식)
- 2x2 + 3x – 2 < 3x + 2 ⇒ 2x2 – 4 < 0 (정리 후 이차부등식)
이런 식들이 모두 이차부등식이랍니다.
🔍 이차부등식 판별하기: x2항이 살아있나 확인!
개념정리 90-2: 정리했을 때 이차항이 남아있어야!
어떤 부등식이 이차부등식인지 아닌지 판단하려면, 반드시 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 간단히 정리해 보아야 해요. 겉보기에 x2항이 있다고 해서 무조건 이차부등식인 것은 아니랍니다!
정리했을 때, x에 대한 가장 높은 차수의 항이 이차항(ax2)이고, 그 계수 a가 0이 아니어야 비로소 이차부등식이라고 할 수 있어요.
이차부등식인 경우와 아닌 경우:
- x2 – x > 2x + 1
→ 정리하면 x2 – 3x – 1 > 0. 좌변이 이차식이므로 이차부등식입니다. - 2x2 + x + 1 > 2x2 – 1
→ 정리하면 x + 2 > 0. x2항이 사라지고 일차항만 남았죠? 따라서 이것은 이차부등식이 아니고 일차부등식입니다. - 3(x2+1) \ge 2(x2-1)+x2
→ 3x2+3 \ge 2x2-2+x2 ⇒ 3x2+3 \ge 3x2-2 ⇒ 3 \ge -2 (또는 5 \ge 0).
미지수 x가 사라지고 항상 참인 부등식이 되었네요. 이것은 이차부등식이 아닙니다.
따라서 어떤 부등식이 주어졌을 때는 항상 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후, 그 식이 x에 대한 이차식인지 확인하는 습관을 들여야 해요!
🧐 개념확인 문제: 이차부등식 찾아내기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다음 보기에서 이차부등식인 것을 골라봅시다!
이차부등식인 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오. (PDF 문제)
보기
ㄱ. x2 – x > 2x + 1
ㄴ. 3(x2 + 1) \ge 2(x2 – 1) + x2
ㄷ. -2x2 – 3 < -2x2
ㄹ. -2x(x + 1) \ge x + 1
정답 및 해설:
각 보기를 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다.
- ㄱ. x2 – x > 2x + 1
→ x2 – x – 2x – 1 > 0 ⇒ x2 – 3x – 1 > 0.
(좌변이 x에 대한 이차식이므로 이차부등식입니다.) - ㄴ. 3(x2 + 1) \ge 2(x2 – 1) + x2
→ 3x2 + 3 \ge 2x2 – 2 + x2 ⇒ 3x2 + 3 \ge 3x2 – 2
→ 3x2 – 3x2 + 3 + 2 \ge 0 ⇒ 5 \ge 0.
(x2항이 사라지고 항상 참인 부등식이 되므로 이차부등식이 아닙니다.) - ㄷ. -2x2 – 3 < -2x2
→ -2x2 + 2x2 – 3 < 0 ⇒ -3 < 0.
(x2항이 사라지고 항상 참인 부등식이 되므로 이차부등식이 아닙니다.) - ㄹ. -2x(x + 1) \ge x + 1
→ -2x2 – 2x \ge x + 1
→ -2x2 – 2x – x – 1 \ge 0 ⇒ -2x2 – 3x – 1 \ge 0.
(좌변이 x에 대한 이차식이고 이차항의 계수가 -2 (\ne 0)이므로 이차부등식입니다.)
따라서 이차부등식인 것은 ㄱ, ㄹ 입니다.
겉모습만 보고 판단하지 말고, 반드시 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 x에 대한 이차식이 되는지 확인하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 x에 대한 이차식(ax2+bx+c, 단 a \ne 0)이 되는 부등식을 ‘이차부등식’이라고 부른다는 것을 배웠습니다. 겉보기에 이차항이 있더라도 정리했을 때 사라지면 이차부등식이 아니라는 점도 중요했죠? 이차부등식의 정확한 뜻을 이해하는 것은 앞으로 이차부등식을 풀고 활용하는 데 가장 기본이 된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차부등식과 이차함수의 그래프 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보겠습니다. 📈