• 공통근: 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값.
• 공통근 구하는 방법 (두 방정식 f(x)=0, g(x)=0의 공통근 α를 구할 때):
  1. 인수분해 이용:
     • 각 방정식의 좌변 f(x)와 g(x)를 각각 인수분해해요.
     • 두 인수분해 결과에서 공통으로 나타나는 인수를 찾아, 그 인수가 0이 되는 x 값을 구하면 그것이 공통근이에요.
  2. 최고차항 또는 상수항 소거:
     • 공통근을 α라고 놓고 f(α)=0, g(α)=0 두 식을 세워요.
     • 두 식을 연립하여 최고차항을 소거하거나 상수항을 소거하여 α에 대한 새로운 방정식을 만들어요.
     • 새로 얻은 방정식의 해를 구한 후, 그 해가 원래 두 방정식을 모두 만족시키는지 반드시 확인하여 공통근을 결정해요. (소거 과정에서 무연근이 생길 수 있기 때문!)

개념정리 78-1: 여러 방정식의 공통된 해답

우리가 두 개 이상의 방정식을 다룰 때, 이 모든 방정식을 동시에 참으로 만드는 특별한 미지수의 값이 존재할 수 있어요. 이러한 값을 바로 그 방정식들의 공통근(Common Root)이라고 부릅니다.

예를 들어,

• 방정식 A: x – 2 = 0 (해는 x=2)
• 방정식 B: x² – 4 = 0 (해는 x=2 또는 x=-2)

이 두 방정식 A와 B를 동시에 만족시키는 x의 값은 2뿐이죠? 따라서 x=2는 두 방정식 A와 B의 공통근이 됩니다.

공통근을 찾는 것은 연립방정식의 해를 찾는 것과 비슷해 보이지만, 연립방정식은 주어진 모든 식을 동시에 만족시키는 ‘미지수 값들의 쌍(또는 세트)’을 찾는 것이고, 공통근은 각 방정식의 해 중에서 ‘공통으로 겹치는 해’를 찾는다는 점에서 약간의 차이가 있어요. 하지만 결과적으로는 두 개념이 밀접하게 연관되어 있답니다.

개념정리 78-2: 인수분해 또는 소거법 활용!

두 방정식 f(x)=0과 g(x)=0의 공통근을 찾는 대표적인 방법은 다음과 같아요.

1. 인수분해를 이용하는 방법

가장 직접적이고 확실한 방법은 각각의 방정식을 풀어서 해를 모두 구한 다음, 그 해들 중에서 공통으로 포함된 값을 찾는 것이에요. 만약 f(x)와 g(x)가 쉽게 인수분해된다면 이 방법이 매우 편리합니다.

2. 최고차항 또는 상수항을 소거하는 방법

만약 인수분해가 쉽지 않다면, 두 방정식을 연립하여 최고차항을 소거하거나 상수항을 소거하여 새로운 방정식을 만드는 방법을 사용할 수 있어요. 공통근 α는 원래 두 방정식뿐만 아니라, 이렇게 새로 만들어진 방정식도 만족해야 하거든요.

[풀이 단계]

1. 공통근을 α라고 놓고, α를 원래 두 방정식에 각각 대입하여 f(α)=0, g(α)=0이라는 두 개의 식을 만들어요.
2. 이 두 식을 변끼리 빼거나 더하여 최고차항 또는 상수항을 소거해요. 그러면 α에 대한 더 간단한 방정식을 얻을 수 있어요.
3. 새로 얻은 방정식의 해(α의 후보 값)를 구해요.
4. (중요!) 구한 α의 후보 값을 원래의 두 방정식에 모두 대입하여 두 방정식을 동시에 만족시키는지 반드시 확인해야 해요. 이 과정을 거치지 않으면 공통근이 아닌 ‘무연근’을 답으로 선택할 수 있답니다!