077 대칭식으로 이루어진 연립방정식 풀이: x+y=u, xy=v 치환의 마법! ✨
안녕하세요, 수학의 대칭미를 사랑하는 친구들! 👋 연립방정식을 풀다 보면, 각 방정식이 x와 y를 서로 바꾸어 대입해도 식이 변하지 않는 특별한 형태, 즉 대칭식으로 이루어진 경우를 만날 수 있어요. 예를 들어 x+y=3, xy=2와 같은 연립방정식이죠. 이런 대칭식으로 이루어진 연립방정식은 아주 우아하고 효과적인 풀이 방법이 있답니다! 바로 x+y=u, xy=v로 치환하는 마법 같은 기술이에요. 오늘은 이 방법을 함께 마스터해 볼까요? 🪄
📝 핵심만정리: 대칭형 연립방정식, 이렇게 풀어요!
연립방정식을 이루는 각 방정식이 모두 x, y에 대한 대칭식일 경우, 다음과 같은 순서로 풀어요.
- 1단계: 치환하기
x+y = u, xy = v로 놓고, 주어진 연립방정식을 u, v에 대한 연립방정식으로 변형해요.
(이때, x2+y2 = (x+y)2-2xy = u2-2v 와 같은 곱셈 공식의 변형을 자주 사용해요! ) - 2단계: u, v 값 구하기
1단계에서 만든 u, v에 대한 연립방정식을 풀어서 u와 v의 값을 구해요. - 3단계: x, y 값 구하기
합이 u(=x+y)이고 곱이 v(=xy)인 두 수 x, y는, 새로운 변수 t에 대한 이차방정식 t2 – ut + v = 0의 두 근임을 이용해요.
이 이차방정식을 풀어서 얻은 두 근이 바로 x와 y의 값이 됩니다. (어떤 근이 x이고 어떤 근이 y인지는 서로 바뀔 수 있어요.)
🤔 대칭식이란 무엇일까요? (x와 y를 바꿔도 같은 식!)
개념정리 77-1: 문자를 바꿔도 변하지 않는 아름다움
어떤 식 f(x,y)에서 두 문자 x와 y를 서로 바꾸어 f(y,x)를 만들었을 때, 원래 식 f(x,y)와 완전히 똑같다면 (f(x,y) = f(y,x)), 이 식 f(x,y)를 x, y에 대한 대칭식이라고 해요.
예를 들어,
- x+y: x와 y를 바꾸면 y+x가 되어 원래 식과 같죠? (덧셈의 교환법칙)
- xy: x와 y를 바꾸면 yx가 되어 원래 식과 같아요. (곱셈의 교환법칙)
- x2 + y2: 바꾸면 y2 + x2으로 같아요.
- 1⁄x + 1⁄y: 바꾸면 1⁄y + 1⁄x으로 같아요.
이런 식들이 모두 대칭식이에요. 반면에 x-y는 y-x = -(x-y)가 되어 원래 식과 부호가 반대이므로 대칭식이 아니랍니다 (이런 경우는 교대식이라고 해요).
중요한 점은, 대부분의 x, y에 대한 대칭식은 두 문자의 합(x+y)과 곱(xy)을 이용하여 표현할 수 있다는 것이에요. 이때 곱셈 공식의 변형이 자주 사용된답니다.
🛠️ 대칭형 연립방정식 풀이법: u, v 치환 후 t에 대한 이차방정식!
개념정리 77-2: 3단계 풀이 전략!
연립방정식을 이루는 모든 방정식이 x, y에 대한 대칭식일 때, 다음과 같은 3단계 전략으로 풀면 효과적이에요.
1단계: x+y=u, xy=v로 치환하여 u, v에 대한 연립방정식 세우기
주어진 연립방정식의 각 식을 u와 v를 사용하여 나타내요. 곱셈 공식의 변형을 자주 활용합니다.
예: x2 + y2 = (x+y)2 – 2xy = u2 – 2v
2단계: u, v의 값 구하기
1단계에서 얻은 u, v에 대한 연립방정식을 풀어서 u(즉, x+y의 값)와 v(즉, xy의 값)를 구해요.
3단계: t2 – ut + v = 0을 이용하여 x, y 값 구하기
두 수 x와 y는 합이 u이고 곱이 v인 두 수예요. 이러한 두 수는 새로운 변수 t에 대한 이차방정식 t2 – ut + v = 0의 두 근이 됩니다. (이것은 ‘두 수를 근으로 하는 이차방정식 세우기’에서 배웠던 내용이죠! t2 – (두 근의 합)t + (두 근의 곱) = 0)
이 t에 대한 이차방정식을 풀면 두 근 t1, t2를 얻을 수 있고, 이 두 근이 바로 x와 y의 값이 됩니다. 즉, (x=t1, y=t2) 또는 (x=t2, y=t1)과 같이 두 쌍의 해가 나올 수 있어요 (대칭적이므로).
예시: 연립방정식 { x + y = 4 ···①xy = 3 ···②을 풀어봅시다. (PDF Check 문제)
1. 치환하기:
이미 x+y=u, xy=v 형태로 주어져 있네요! u=4, v=3 입니다.
2. u, v 값 구하기:
u=4, v=3으로 이미 구해졌어요.
3. t2 – ut + v = 0을 이용하여 x, y 값 구하기:
x, y는 t에 대한 이차방정식 t2 – 4t + 3 = 0의 두 근입니다.
이차방정식을 풀면: (t-1)(t-3) = 0. 따라서 t=1 또는 t=3 입니다.
이 두 근이 x와 y의 값이 되므로, 가능한 해의 쌍은:
{ x=1y=3 또는 { x=3y=1 입니다.
예시 2: 연립방정식 { x2 + y2 = 5 ···①x + y = 3 ···②을 풀어봅시다. (예시 변형)
1. 치환 및 u,v 관계식 세우기:
x+y = u = 3 (②에서 바로)
x2+y2 = (x+y)2 – 2xy = u2 – 2v. ①에서 u2 – 2v = 5.
2. u,v 값 구하기:
u=3이므로 32 – 2v = 5 ⇒ 9 – 2v = 5 ⇒ 2v = 4 ⇒ v = 2.
따라서 u=3, v=2 입니다. (즉, x+y=3, xy=2)
3. t2 – ut + v = 0을 이용하여 x, y 값 구하기:
t에 대한 이차방정식 t2 – 3t + 2 = 0의 두 근이 x,y입니다.
(t-1)(t-2) = 0. 따라서 t=1 또는 t=2.
해는 { x=1y=2 또는 { x=2y=1 입니다.
🧐 개념확인 문제 (위 예시로 대체)
위에서 다룬 예시들이 대칭형 연립방정식을 푸는 대표적인 과정을 잘 보여주고 있어요. 핵심은 x+y=u, xy=v로 치환하여 u,v에 대한 방정식을 풀고, 그 결과를 이용하여 t2-ut+v=0이라는 새로운 이차방정식을 만들어 x,y를 찾는 것이랍니다! 곱셈 공식의 변형을 잘 활용하는 것도 중요해요!
오늘은 x, y를 서로 바꾸어도 식이 변하지 않는 대칭식으로 이루어진 연립방정식의 풀이법에 대해 배웠습니다. x+y=u, xy=v로 치환하는 아이디어와, 합과 곱을 알 때 두 수를 근으로 하는 이차방정식 t2-ut+v=0을 세우는 방법이 핵심이었죠? 이 방법은 복잡해 보이는 연립방정식도 체계적으로 해결할 수 있게 도와주는 강력한 도구랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 방정식의 ‘공통근’에 대한 이야기를 나눠볼게요. 🤝