윤환형 연립방정식은 미지수 x, y, z가 순환하는 형태로 나타나는 연립방정식을 말해요. (예: 2x+y+z=1, x+2y+z=3, x+y+2z=4)

이런 윤환형 연립방정식을 푸는 특별한 전략은 다음과 같아요:

1. 1단계: 모든 식을 변끼리 더하거나 곱하여 새로운 식 만들기
   주어진 모든 방정식을 변끼리 더하거나 (또는 상황에 따라 곱하여) 미지수들의 합(x+y+z)이나 곱(xyz)에 대한 간단한 식을 얻어내요.
2. 2단계: 새로 얻은 식과 원래 식들을 연립하여 풀기
   1단계에서 얻은 새로운 식과 원래의 각 방정식을 차례로 비교하거나 연립하여 각 미지수의 값을 구해요.

이 방법은 일반적인 가감법/대입법보다 계산이 간결해지는 경우가 많답니다!

개념정리 74-1: 문자가 돌아가는 대칭적인 구조!

윤환형 연립방정식은 연립방정식을 이루는 각 식에서 미지수 x, y, z가 서로 자리를 바꾸어도 식 전체의 구조가 유사하게 유지되거나, 미지수들이 순환하는 패턴을 보이는 형태를 말해요. (교재에서는 “윤환형”이라는 용어를 사용하며, 계수가 대칭적인 형태를 예로 들고 있습니다.)

예를 들어, PDF 에 나온 다음 연립방정식을 보세요:

{ ^{2x + y + z = 1     ···①}_{x + 2y + z = 3     ···②}^{x + y + 2z = 4     ···③}

각 식에서 x, y, z의 계수가 (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2)처럼 순환하며 대칭적인 모습을 보이죠? 이런 형태의 연립방정식은 특별한 풀이법을 사용하면 더 쉽게 해결할 수 있습니다.

또 다른 예로, 곱셈 형태의 윤환형도 있어요.

{ ^{xy = 2     ···④}_{yz = 3     ···⑤}^{zx = 6     ···⑥}

이처럼 미지수들이 순환하며 곱해진 형태도 윤환형으로 볼 수 있습니다.

개념정리 74-2: 세 식을 더하여 x+y+z 값 구하기!

미지수들의 합으로 이루어진 항들이 순환하는 형태의 연립방정식, 예를 들어 { ^{2x + y + z = 1}_{x + 2y + z = 3}^{x + y + 2z = 4} 와 같은 경우는 다음 단계로 풀면 편리해요.

[풀이 단계]

1. 세 식을 모두 변끼리 더한다:
   이렇게 하면 (2x+y+z) + (x+2y+z) + (x+y+2z) = 1+3+4
   4x + 4y + 4z = 8
   양변을 4로 나누면 x + y + z = 2   ···④ 라는 새로운 식을 얻을 수 있어요!
2. 새로 얻은 식과 원래 식들을 비교하여 푼다:
   이제 ④식에서 원래 식 ①, ②, ③을 각각 빼주면 각 미지수의 값을 쉽게 구할 수 있어요.
   • ④ – ①: (x+y+z) – (2x+y+z) = 2 – 1 ⇒ -x = 1 ⇒ x = -1
   • ④ – ②: (x+y+z) – (x+2y+z) = 2 – 3 ⇒ -y = -1 ⇒ y = 1
   • ④ – ③: (x+y+z) – (x+y+2z) = 2 – 4 ⇒ -z = -2 ⇒ z = 2

따라서 해는 x = -1, y = 1, z = 2 입니다.

일반적인 가감법으로 풀 수도 있지만, 이렇게 세 식을 모두 더하는 방법을 사용하면 계산이 훨씬 간단해지는 경우가 많답니다!

개념정리 74-3: 세 식을 곱하여 xyz 값 구하기!

이번에는 미지수들이 두 개씩 곱해져 순환하는 형태의 연립방정식, 예를 들어 { ^{xy = 2}_{yz = 3}^{zx = 6} 와 같은 경우는 다음 단계로 풀면 편리해요.

[풀이 단계]

1. 세 식을 모두 변끼리 곱한다:
   (xy) \cdot (yz) \cdot (zx) = 2 \cdot 3 \cdot 6
   x²y²z² = 36
   즉, (xyz)² = 36 이므로, xyz = ±6 이라는 새로운 정보를 얻어요.
2. 새로 얻은 식과 원래 식들을 비교하여 푼다:
   이제 xyz의 값을 원래 식들과 연관 지어 각 미지수의 값을 구해요.
   • 경우 1: xyz = 6 일 때
     • (xyz) / (xy) = 6 / 2 ⇒ z = 3
     • (xyz) / (yz) = 6 / 3 ⇒ x = 2
     • (xyz) / (zx) = 6 / 6 ⇒ y = 1
     • 따라서 해는 (x, y, z) = (2, 1, 3)
   • 경우 2: xyz = -6 일 때
     • (xyz) / (xy) = -6 / 2 ⇒ z = -3
     • (xyz) / (yz) = -6 / 3 ⇒ x = -2
     • (xyz) / (zx) = -6 / 6 ⇒ y = -1
     • 따라서 해는 (x, y, z) = (-2, -1, -3)

따라서 주어진 연립방정식의 해는 (2, 1, 3) 또는 (-2, -1, -3) 입니다. (이때 “복호동순”이라는 표현은 각 부호가 같은 순서로 대응된다는 의미예요. )