방정식 x³ = 1의 한 허근을 ω라고 할 때, 다음과 같은 중요한 성질들이 성립해요. (단, ω는 ω의 켤레복소수입니다.)

• 1. 기본 성질 (방정식의 근이므로):
  • ω³ = 1 ( ω는 x³=1의 근이니까요!)
  • ω² + ω + 1 = 0 ( ω는 인수분해 과정에서 나오는 x²+x+1=0의 근이기도 해요!)
• 2. 켤레근과의 관계 (계수가 실수이므로):
  • 다른 한 허근은 ω의 켤레복소수인 ω 예요.
  • ω + ω = -1 (두 근의 합, x²+x+1=0에서 근과 계수의 관계)
  • ωω = 1 (두 근의 곱, x²+x+1=0에서 근과 계수의 관계)
• 3. 추가적인 유용한 성질:
  • ω² = ω (또한, ω² = ¹⁄_ω 와도 같아요.)

이 성질들은 ω와 관련된 다양한 식의 값을 간단히 하는 데 매우 유용하게 사용된답니다!

개념정리 71-1: x³=1 인수분해 속 비밀

방정식 x³ = 1을 풀어봅시다.

먼저 우변의 1을 좌변으로 이항하면 x³ – 1 = 0이 됩니다.

좌변은 세제곱의 차 공식(a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²))을 이용하여 인수분해할 수 있죠?

(x – 1)(x² + x + 1) = 0

이 방정식이 성립하려면 다음 두 가지 경우 중 하나여야 해요.

1. x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (이것은 실근이네요!)
2. x² + x + 1 = 0

두 번째 경우인 이차방정식 x² + x + 1 = 0의 근을 구해볼까요? 판별식 D = b²-4ac = 1² – 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0이므로, 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가져요. 이 허근 중 하나를 ω (오메가)라고 부르는 것이랍니다.

근의 공식을 사용하면, x = ^{(-1 ± √(12-4 \cdot 1 \cdot 1))}⁄_{2 \cdot 1} = ^{(-1 ± √(-3))}⁄₂ = ^{(-1 ± √3i)}⁄₂ 입니다.

따라서 방정식 x³=1의 세 근은 1, ^{(-1 + √3i)}⁄₂, ^{(-1 – √3i)}⁄₂ 이고, 이 중 두 허근이 바로 ω와 그의 켤레복소수 ω가 되는 것이죠!

개념정리 71-2: ω를 다루는 강력한 도구들

방정식 x³=1의 한 허근 ω는 다음과 같은 중요한 성질들을 가져요.

1. ω³ = 1 그리고 ω² + ω + 1 = 0

• ω는 원래 방정식 x³=1의 근이므로, x 대신 ω를 대입하면 ω³=1이 성립해요.
• 또한, ω는 인수분해 과정에서 나온 이차방정식 x²+x+1=0의 근이기도 하므로, x 대신 ω를 대입하면 ω²+ω+1=0이 성립해요. 이 두 식은 ω 관련 문제를 푸는 데 가장 기본적이고 강력하게 사용된답니다!

2. ω + ω = -1 그리고 ωω = 1

이차방정식 x²+x+1=0의 계수는 모두 실수(1, 1, 1)이고, 한 허근이 ω이므로 다른 한 허근은 반드시 그의 켤레복소수인 ω가 됩니다 (켤레근의 성질).

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면,

• 두 근의 합: ω + ω = -(¹⁄₁) = -1
• 두 근의 곱: ωω = (¹⁄₁) = 1

3. ω² = ω 그리고 ω² = ¹⁄_ω

위의 성질들을 조합하면 더 재미있는 관계를 찾을 수 있어요.

• ω²+ω+1=0에서 ω² = -ω-1.
• ω+ω=-1에서 ω = -ω-1.
• 따라서 ω² = ω가 성립해요!
• 또한, ωω=1에서 ω = ¹⁄_ω이므로, ω² = ¹⁄_ω도 성립한답니다. (ω³=1에서도 바로 유도 가능)