세 수 α (알파), β (베타), γ (감마)를 근으로 하고, x³의 계수가 1인 삼차방정식은 다음과 같이 세울 수 있어요.

(x – α)(x – β)(x – γ) = 0

이 식을 전개하면 근과 계수의 관계를 이용한 형태로 나타낼 수 있습니다:

x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ = 0

즉, x³ – (세 근의 합)x² + (두 근끼리의 곱의 합)x – (세 근의 곱) = 0 꼴로 기억하면 편리해요! (부호가 -, +, – 순서로 번갈아 나오는 것에 주의하세요!)

만약 x³의 계수가 a (a \ne 0)라면, 위 식 전체에 a를 곱해주면 됩니다:

a(x – α)(x – β)(x – γ) = 0 또는 a\{x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ\} = 0

개념정리 69-1: 인수분해 거꾸로 & 근과 계수의 관계 활용!

어떤 삼차방정식의 세 근이 α, β, γ라는 것은, 그 삼차방정식을 인수분해했을 때 (x-\alpha), (x-\beta), (x-\gamma)를 인수로 갖는다는 뜻과 같아요 (단, 삼차항의 계수가 1일 경우).

따라서 세 수 α, β, γ를 근으로 하고 x³의 계수가 1인 삼차방정식은 가장 간단하게 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

(x – α)(x – β)(x – γ) = 0

이 식의 좌변을 전개하면 (곱셈 공식 (x+A)(x+B)(x+C) = x^3+(A+B+C)x^2+(AB+BC+CA)x+ABC 에서 A, B, C 대신 -\alpha, -\beta, -\gamma를 대입한다고 생각하면 쉬워요):

(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x³ – (α+\beta+\gamma)x² + (α\beta;+\beta;\gamma;+\gamma;\alpha;)x – α\beta;\gamma;

이므로, 결국 삼차방정식은 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

x³ – (세 근의 합)x² + (두 근끼리의 곱의 합)x – (세 근의 곱) = 0

이것이 바로 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 역으로 이용하여 삼차방정식을 세우는 핵심 원리랍니다! 세 근의 합, 두 근끼리 곱한 것들의 합, 그리고 세 근의 곱만 알면 x³의 계수가 1인 삼차방정식을 바로 만들 수 있죠.

개념정리 69-2: x³의 계수 a를 곱해주기!

만약 세 수 α, β, γ를 근으로 갖고, x³의 계수가 1이 아닌 어떤 상수 a (a \neq 0)인 삼차방정식을 만들어야 한다면 어떻게 할까요?

방법은 이차방정식 때와 같아요! 일단 x³의 계수가 1인 삼차방정식 x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ = 0을 만든 후, 이 식의 양변에 a를 곱해주면 된답니다.

그러면 다음과 같은 삼차방정식을 얻을 수 있어요:

a\{x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ\} = 0

또는, 처음부터 a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 으로 시작해서 전개해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.