067 상반방정식 풀이: 계수가 대칭인 특별한 방정식 정복!

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067 상반방정식 풀이: 계수가 대칭인 특별한 방정식 정복!

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핵심정리 상반방정식이란? 짝수차 상반방정식 풀이 홀수차 상반방정식 풀이 개념확인 (예제)

안녕하세요, 수학의 대칭성을 사랑하는 친구들! 👋 고차방정식 중에서도 아주 특별한 대칭성을 가진 방정식이 있어요. 바로 상반방정식(Reciprocal Equation)인데요, 이 방정식은 계수가 가운데 항을 중심으로 좌우 대칭인 아름다운 구조를 가지고 있답니다. 마치 거울에 비친 모습처럼 말이죠! 상반방정식은 그 차수가 짝수인지 홀수인지에 따라 독특한 풀이법을 가지고 있어요. 오늘은 이 매력적인 상반방정식의 정의와 풀이 전략을 함께 알아볼 거예요. 대칭의 세계로 떠날 준비되셨나요? ✨

📝 핵심만정리: 상반방정식, 이렇게 풀어요!

상반방정식이란, x에 대한 내림차순(또는 오름차순)으로 정리했을 때 가운데 항을 중심으로 계수가 서로 대칭인 방정식을 말해요.

예: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 또는 ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ≠ 0)

상반방정식은 최고차항의 차수에 따라 풀이법이 달라져요.

  • 짝수차 상반방정식 (주로 4차):
    1. 양변을 x2으로 나누어요 (단, x=0이 해가 아님을 확인 또는 가정).
    2. x + 1⁄x = X로 치환하고, x2 + 1⁄x2 = (x + 1⁄x)2 – 2 = X2 – 2임을 이용하여 X에 대한 방정식으로 만들어요.
    3. X의 값을 구한 후, 다시 x + 1⁄x = X를 풀어 x의 값을 구해요.
  • 홀수차 상반방정식 (주로 5차):
    1. 홀수차 상반방정식은 반드시 x = -1을 근으로 가져요.
    2. 따라서 (x+1)f(x) = 0 꼴로 인수분해해요. (조립제법 사용 가능)
    3. 이때 f(x)=0은 짝수차 상반방정식이 되므로, 위 짝수차 상반방정식 풀이법을 적용해요.

🤔 상반방정식이란 무엇일까요? (계수가 거울처럼 대칭!)

개념정리 67-1: 가운데를 기준으로 대칭인 계수들

상반방정식은 그 이름에서 ‘서로 반대된다’ 또는 ‘대칭적이다’라는 느낌을 받을 수 있어요. 실제로 상반방정식은 다항식을 x에 대한 내림차순(또는 오름차순)으로 정리했을 때, 가운데 항을 기준으로 양쪽의 계수들이 서로 같은 특별한 형태의 방정식을 말합니다.

대표적인 상반방정식의 형태는 다음과 같아요 (a ≠ 0):

  • 4차 상반방정식: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0
    (x4의 계수와 상수항이 같고, x3의 계수와 x의 계수가 같아요.)
  • 5차 상반방정식: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0
    (x5의 계수와 상수항, x4의 계수와 x의 계수, x3의 계수와 x2의 계수가 각각 같아요.)

이러한 계수의 대칭적인 구조 때문에 상반방정식은 특별한 풀이법을 가지게 된답니다.

⚙️ 짝수차 상반방정식 풀이법 (주로 4차)

개념정리 67-2: x2으로 나누고 치환하라!

짝수차 상반방정식 (예: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0)을 푸는 핵심 전략은 다음과 같아요.

[풀이 단계]

  1. 양변을 x2으로 나누기:
    상반방정식은 x=0을 해로 갖지 않으므로 (만약 x=0이 해라면 상수항 a=0이 되어야 하는데, 최고차항 계수도 a이므로 모순), 양변을 x2으로 나눌 수 있어요.
    ax2 + bx + c + b⁄x + a⁄x2 = 0
  2. 묶어서 정리하기:
    계수가 같은 항끼리 묶어줍니다.
    a(x2 + 1⁄x2) + b(x + 1⁄x) + c = 0
  3. 치환하기:
    x + 1⁄x = X로 치환해요.
    이때, x2 + 1⁄x2 = (x + 1⁄x)2 – 2 = X2 – 2 임을 이용합니다.
    그러면 방정식은 a(X2 – 2) + bX + c = 0, 즉 aX2 + bX + c – 2a = 0 과 같이 X에 대한 이차방정식으로 변해요.
  4. X 값 구하기: X에 대한 이차방정식을 풀어서 X의 값을 구해요.
  5. 원래대로 돌려 x 값 구하기: 구한 X의 값을 다시 x + 1⁄x = X에 대입하여 x에 대한 방정식을 풀어요. (양변에 x를 곱하면 x2 – Xx + 1 = 0 꼴의 이차방정식이 됩니다.)

예시: 사차 상반방정식 x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + 1 = 0을 풀어봅시다. (유사 예제)

1. x=0은 해가 아니므로 양변을 x2으로 나누면:

x2 – 4x + 5 – 4⁄x + 1⁄x2 = 0

2. 묶어서 정리: (x2 + 1⁄x2) – 4(x + 1⁄x) + 5 = 0

3. x + 1⁄x = X로 치환. 그러면 x2 + 1⁄x2 = X2 – 2.

(X2 – 2) – 4X + 5 = 0 ⇒ X2 – 4X + 3 = 0

4. X 값 구하기: (X-1)(X-3) = 0 ⇒ X=1 또는 X=3.

5. x 값 구하기:

(i) X=1 일 때: x + 1⁄x = 1 ⇒ x2 – x + 1 = 0.
근의 공식: x = (1 ± √(1-4))⁄2 = (1 ± √3i)⁄2

(ii) X=3 일 때: x + 1⁄x = 3 ⇒ x2 – 3x + 1 = 0.
근의 공식: x = (3 ± √(9-4))⁄2 = (3 ± √5)⁄2

따라서 해는 (1 ± √3i)⁄2, (3 ± √5)⁄2 입니다.

⚙️ 홀수차 상반방정식 풀이법 (주로 5차)

개념정리 67-3: x = -1을 인수로 가진다!

홀수차 상반방정식 (예: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0)은 아주 중요한 특징이 있어요. 바로 x = -1을 반드시 근으로 갖는다는 점이에요!

(x=-1을 대입하면 -a+b-c+c-b+a = 0이 되어 항상 성립하죠.)

따라서 홀수차 상반방정식을 푸는 전략은 다음과 같습니다.

[풀이 단계]

  1. 주어진 홀수차 상반방정식은 (x+1)을 인수로 가지므로, 조립제법을 이용하여 (x+1)f(x) = 0 꼴로 인수분해해요. (즉, -1로 조립제법 시행)
  2. 이때 f(x)는 원래 방정식보다 차수가 하나 낮은 짝수차 상반방정식이 됩니다.
  3. f(x)=0을 위에서 배운 짝수차 상반방정식 풀이법으로 풀어요.
  4. 처음에 찾은 x=-1과 f(x)=0의 해들을 모두 합하면 주어진 홀수차 상반방정식의 전체 해가 됩니다.

🧐 개념확인 문제: 상반방정식 풀어보기!

PDF 자료에는 이 주제에 대한 별도의 “Check” 문제가 없지만, 위에서 설명한 예시들이 상반방정식을 푸는 대표적인 과정을 보여줍니다. 짝수차는 x2으로 나누어 x+1/x=X로 치환하는 것, 홀수차는 x=-1을 근으로 가짐을 이용하여 (x+1)로 먼저 인수분해하는 것이 핵심 전략입니다!

연습해 볼 만한 문제 유형:

  • 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 과 같은 4차 상반방정식 풀어보기.
  • x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x + 1 = 0 과 같은 5차 상반방정식 풀어보기.

상반방정식은 풀이 과정이 정해져 있는 편이므로, 그 흐름을 잘 익혀두면 어떤 상반방정식이 나와도 해결할 수 있을 거예요! 😉

오늘은 계수가 가운데를 중심으로 대칭적인 특별한 고차방정식인 상반방정식의 풀이법에 대해 배웠습니다. 짝수차 상반방정식은 양변을 x2으로 나누고 x+1/x=X로 치환하는 방법을, 홀수차 상반방정식은 x=-1을 근으로 가짐을 이용하여 차수를 낮춘 후 해결하는 방법을 사용했죠? 이러한 특별한 형태의 방정식 풀이법을 익혀두면 문제 해결 능력을 한층 더 높일 수 있답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 대해 알아보겠습니다. 🤝

✨ 상반방정식 풀이 연습 문제 PDF 링크 삽입 위치 ✨

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