066 복이차방정식 풀이: 치환 또는 A²-B² 변형으로 정복! ⚙️
안녕하세요, 수학 퍼즐 해결사 친구들! 👋 고차방정식 중에서도 독특한 형태를 가진 복이차방정식에 대해 들어봤나요? 복이차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항했을 때, x4 + ax2 + b = 0처럼 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 특별한 사차방정식을 말해요. 마치 이차방정식이 두 번 겹쳐있는 듯한 모습이죠? 오늘은 이 복이차방정식을 푸는 두 가지 핵심 전략에 대해 알아볼 거예요. 이 전략들을 사용하면 복잡해 보이는 복이차방정식도 깔끔하게 해결할 수 있답니다! 함께 도전해 볼까요? 🧩
📝 핵심만정리: 복이차방정식 풀이, 두 가지 길!
복이차방정식이란, x4 + ax2 + b = 0 (a, b는 상수)과 같이 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 방정식을 말해요. 복이차방정식을 풀 때는 주로 다음 두 가지 방법을 사용합니다.
- 방법 1: x2 = X로 치환하기
- x2을 X로 치환하여 X에 대한 이차방정식 X2 + aX + b = 0으로 만들어요.
- 이 이차방정식을 풀어 X의 값을 구한 후, 다시 x2 = X에 대입하여 x의 값을 구해요.
- 방법 2: (A2 – B2) = 0 꼴로 변형하기
- 방법 1로 좌변이 쉽게 인수분해되지 않을 때 사용해요.
- 주어진 방정식의 이차항 ax2을 적절히 분리하거나 더하고 빼서, 좌변을 (완전제곱식) – (제곱꼴), 즉 (A2 – B2) = 0 형태로 변형해요.
- 그 후 합차 공식을 이용하여 (A+B)(A-B)=0으로 인수분해하고 해를 구해요.
복이차방정식의 좌변은 복이차식의 인수분해 방법을 그대로 이용하면 된답니다!
🤔 복이차방정식이란 무엇일까요? (x4 + ax2 + b = 0 꼴)
개념정리 66-1: 짝수 차수들의 방정식
방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 그 식이 x에 대한 복이차식 (즉, x4, x2 항과 상수항처럼 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 식)이고 우변이 0인 형태, 즉 x4 + ax2 + b = 0 (여기서 a, b는 상수) 꼴로 표현되는 방정식을 복이차방정식이라고 해요.
예를 들어,
- x4 – 5x2 + 4 = 0
- x4 + 9 = 0 (x2의 계수가 0인 경우)
- 2x4 + 3x2 – 5 = 0
이런 방정식들이 모두 복이차방정식이랍니다. 홀수 차수의 항(x3, x 등)이 없다는 것이 특징이죠.
🛠️ 전략 1: x2 = X로 치환하여 풀기
개념정리 66-2: 이차방정식으로 변신!
복이차방정식 x4 + ax2 + b = 0을 푸는 첫 번째 방법은 x2 = X로 치환하는 거예요.
이렇게 치환하면 x4 = (x2)2 = X2이 되므로, 주어진 복이차방정식은 X에 대한 이차방정식 X2 + aX + b = 0으로 변신해요!
이제 이 X에 대한 이차방정식을 풀어서 X의 값을 구하고 (예: X = \alpha 또는 X = \beta), 다시 원래대로 x2 = \alpha 그리고 x2 = \beta를 풀어 x의 값을 구하면 됩니다.
예시: 복이차방정식 x4 – 5x2 + 4 = 0을 풀어봅시다.
1. x2 = X로 치환하기:
주어진 방정식은 X2 – 5X + 4 = 0 이 됩니다.
2. X에 대한 이차방정식 풀기:
좌변을 인수분해하면 (X – 1)(X – 4) = 0.
따라서 X = 1 또는 X = 4 입니다.
3. X를 x2으로 되돌려 x 값 구하기:
경우 (i): X = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1
경우 (ii): X = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
따라서 주어진 복이차방정식의 해는 x = -2, -1, 1, 2 입니다.
🛠️ 전략 2: (A2 – B2) = 0 꼴로 변형하여 풀기
개념정리 66-3: 합차 공식을 이용한 인수분해!
만약 x2 = X로 치환했을 때 얻어지는 X에 대한 이차방정식의 좌변이 쉽게 인수분해되지 않는다면, 두 번째 전략을 사용해야 해요. 바로 주어진 복이차방정식의 좌변을 A2 – B2 형태로 변형하여 합차 공식을 이용하는 방법입니다.
[변형 및 풀이 단계]
- 주어진 복이차방정식 x4 + ax2 + b = 0의 x4항과 상수항 b를 이용하여 완전제곱식을 만들 수 있도록 적절한 x2항을 더하고 빼서 식을 조정합니다. 목표는 (x2 + A)2 – (Bx)2 = 0 또는 (x2 + A)2 – (상수)2 = 0 과 같은 A2-B2}=0 꼴을 만드는 것이에요.
- 좌변을 (합)(차) = 0 형태로 인수분해합니다.
( (x2+A) + Bx ) ( (x2+A) – Bx ) = 0 - 각각의 괄호 안의 이차식이 0이 되는 방정식을 풀어 x의 값을 구합니다.
예시: 복이차방정식 x4 – 12x2 + 16 = 0을 풀어봅시다. (PDF 예시 활용)
(x2=X로 치환하면 X2-12X+16=0인데, 쉽게 인수분해되지 않아요.)
1. A2-B2 꼴로 변형하기:
상수항 16 = 42에 주목하여 (x2 ± 4)2 형태를 만들려고 시도해요.
만약 (x2 + 4)2 = x4 + 8x2 + 16을 이용하려면, 원래 식 x4 – 12x2 + 16과 같아지도록 조정해야 해요.
x4 – 12x2 + 16 = (x4 + 8x2 + 16) – 20x2. 여기서 -20x2는 -(Bx)2 꼴이 아니네요.
이번엔 (x2 – 4)2 = x4 – 8x2 + 16을 이용해 봅시다.
x4 – 12x2 + 16 = (x4 – 8x2 + 16) – 4x2
이제 (x2 – 4)2 – (2x)2 = 0 형태로 A2-B2=0 꼴이 되었어요!
(여기서 A = x2-4, B = 2x)
2. 합차 공식으로 인수분해:
((x2 – 4) + 2x)((x2 – 4) – 2x) = 0
(x2 + 2x – 4)(x2 – 2x – 4) = 0
3. 각 이차방정식 풀기:
경우 (i): x2 + 2x – 4 = 0
근의 공식(짝수 공식): x = (-1 ± √(12 – 1 \cdot (-4)))⁄1 = -1 ± √5
경우 (ii): x2 – 2x – 4 = 0
근의 공식(짝수 공식): x = (-(-1) ± √((-1)2 – 1 \cdot (-4)))⁄1 = 1 ± √5
따라서 주어진 복이차방정식의 해는 -1+√5, -1-√5, 1+√5, 1-√5 입니다.
🧐 개념확인 문제: 복이차방정식 풀어보기!
이제 배운 두 가지 전략을 사용하여 복이차방정식을 풀어봅시다!
다음 복이차방정식을 푸시오.
- x4 – 13x2 + 36 = 0
- x4 + 3x2 + 4 = 0
정답 및 해설:
-
x4 – 13x2 + 36 = 0
전략 1 (치환): x2 = X로 치환하면 X2 – 13X + 36 = 0.
인수분해하면 (X – 4)(X – 9) = 0. 따라서 X=4 또는 X=9.
다시 x2으로 되돌리면:
x2 = 4 ⇒ x = ±2
x2 = 9 ⇒ x = ±3
해는 x = -3, -2, 2, 3 입니다.
-
x4 + 3x2 + 4 = 0
전략 1 (치환)을 시도하면 X2+3X+4=0 (X=x2) 인데, 판별식 D=32-4(1)(4) = 9-16 = -7 < 0 이므로 간단히 인수분해되지 않습니다. 전략 2 (A2-B2 꼴 변형)를 사용합니다.
x4 + 4를 이용하여 완전제곱식을 만듭니다. 중간항으로 +4x2가 필요합니다.
x4 + 3x2 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = 0
= (x2 + 2)2 – (x)2 = 0
합차 공식으로 인수분해: ((x2 + 2) + x)((x2 + 2) – x) = 0
(x2 + x + 2)(x2 – x + 2) = 0
각 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 풉니다.
(i) x2 + x + 2 = 0: x = (-1 ± √(12 – 4 \cdot 1 \cdot 2))⁄2 = (-1 ± √(-7))⁄2 = (-1 ± √7i)⁄2
(ii) x2 – x + 2 = 0: x = (-(-1) ± √((-1)2 – 4 \cdot 1 \cdot 2))⁄2 = (1 ± √(-7))⁄2 = (1 ± √7i)⁄2
해는 x = (-1 + √7i)⁄2, (-1 – √7i)⁄2, (1 + √7i)⁄2, (1 – √7i)⁄2 입니다.
복이차방정식은 어떤 전략을 선택하느냐에 따라 풀이 과정이 달라질 수 있어요. 두 가지 방법 모두 익숙하게 사용할 수 있도록 연습하는 것이 중요합니다! 😉
오늘은 차수가 짝수인 항들로만 이루어진 특별한 형태의 사차방정식, 복이차방정식의 풀이법에 대해 배웠습니다. x2=X로 치환하여 이차방정식으로 바꾸어 풀거나, A2-B2}=0 꼴로 변형하여 합차 공식을 이용하는 두 가지 핵심 전략이 있었죠? 어떤 방법을 사용하든, 최종적으로 x의 값을 정확히 구하고, 복소수 범위까지 해를 생각하는 것이 중요합니다. 오늘도 새로운 유형의 방정식을 정복하느라 수고 많으셨어요! 다음 시간에는 또 다른 특별한 고차방정식인 ‘상반방정식’의 풀이법에 대해 알아보겠습니다. 기대해주세요! 🧐