064 고차방정식이란? 3차 이상의 다항식 풀이 첫걸음! 🏰
안녕하세요, 수학의 높은 성을 정복하려는 용감한 친구들! 👋 우리는 이미 일차방정식과 이차방정식을 푸는 방법들을 배웠어요. 오늘은 그보다 차수가 더 높은 방정식, 즉 삼차방정식, 사차방정식과 같이 3차 이상의 방정식을 통틀어 이르는 고차방정식에 대해 알아볼 거예요. 고차방정식은 어떻게 생겼고, 또 어떤 기본적인 원리로 풀어야 할까요? 고차방정식 풀이의 가장 중요한 열쇠는 바로 인수분해랍니다! 함께 그 첫걸음을 내디뎌 볼까요? 🗝️
📝 핵심만정리: 고차방정식, 인수분해가 답이다!
- 고차방정식 (Higher-order Equation):
- 다항식 f(x)에 대하여 f(x)=0 꼴의 방정식에서, f(x)가 삼차 이상의 다항식일 때 이 방정식을 고차방정식이라고 해요.
- 예: x3 – 8 = 0 (삼차방정식), x4 – x2 – 2 = 0 (사차방정식)
- 고차방정식 풀이의 기본 원리:
- 주어진 고차방정식 f(x)=0의 좌변 f(x)를 인수분해해요.
- 인수분해된 식이 A \cdot B = 0 꼴이면, A=0 또는 B=0임을 이용해요.
- 만약 A \cdot B \cdot C = 0 꼴이면, A=0 또는 B=0 또는 C=0임을 이용해요.
- 각각의 인수들이 0이 되는 x의 값을 구하면 그것이 바로 고차방정식의 해가 됩니다.
- 해의 범위: 특별한 언급이 없으면 고차방정식의 해는 복소수 범위에서 구해요. (계수가 실수인 n차 방정식은 복소수 범위에서 n개의 근을 가져요. )
결국, 고차방정식을 잘 풀기 위해서는 앞에서 배운 다양한 인수분해 기술들을 능숙하게 사용할 수 있어야 한답니다!
🤔 고차방정식이란 무엇일까요? (3차 이상 다항식 = 0)
개념정리 64-1: 차수가 높은 방정식들
우리가 f(x) = 0 꼴로 표현되는 방정식을 다룰 때, 다항식 f(x)의 차수에 따라 방정식의 이름이 정해져요.
- f(x)가 일차식이면: 일차방정식 (예: 2x – 4 = 0)
- f(x)가 이차식이면: 이차방정식 (예: x2 – 3x + 2 = 0)
- f(x)가 삼차식이면: 삼차방정식 (예: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0)
- f(x)가 사차식이면: 사차방정식 (예: x4 – 5x2 + 4 = 0)
이처럼 삼차 이상의 방정식을 통틀어서 고차방정식(Higher-order Equation)이라고 부릅니다.
고차방정식을 푼다는 것은 이 등식을 참이 되게 하는 미지수 x의 값을 찾는 것을 의미하며, 특별한 언급이 없는 한 해는 복소수 범위까지 생각해서 구해야 해요. 예를 들어, 계수가 실수인 3차 방정식은 복소수 범위에서 반드시 3개의 근을 갖고, 4차 방정식은 4개의 근을 갖는답니다 (중근도 개수만큼 세는 경우).
🗝️ 고차방정식 풀이의 기본 원리: 인수분해 후 AB=0 활용!
개념정리 64-2: 곱해서 0이 되는 성질 이용하기
고차방정식 f(x) = 0을 푸는 가장 기본적인 원리는 좌변의 다항식 f(x)를 인수분해하는 것이에요.
만약 f(x)가 두 개 이상의 다항식(또는 단항식)의 곱으로 인수분해된다면, 예를 들어 A \cdot B = 0 또는 A \cdot B \cdot C = 0 과 같은 형태로 표현된다면, 우리는 다음과 같은 성질을 이용할 수 있어요:
- AB = 0 이면 ⇒ A = 0 또는 B = 0
- ABC = 0 이면 ⇒ A = 0 또는 B = 0 또는 C = 0
즉, 곱해진 인수들 중 적어도 하나가 0이 되어야 전체 곱이 0이 될 수 있다는 아주 간단하지만 강력한 원리죠!
따라서 고차방정식 f(x)=0을 풀기 위해서는, f(x)를 일차식 또는 이차식들의 곱으로 인수분해한 다음, 각각의 인수가 0이 되는 x의 값을 구하면 됩니다.
예시: 삼차방정식 x3 – 8 = 0을 풀어봅시다. (PDF 문제)
1. 좌변 x3 – 8을 인수분해해요. 이것은 x3 – 23이므로 세제곱의 차 공식을 사용할 수 있죠?
x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
따라서 주어진 방정식은 (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 입니다.
2. 이제 각 인수가 0이 되는 경우를 생각해요.
(i) x – 2 = 0 ⇒ x = 2
(ii) x2 + 2x + 4 = 0
이차방정식 x2 + 2x + 4 = 0은 인수분해가 잘 안되므로 근의 공식(짝수 공식)을 사용해요. (a=1, b’=1, c=4)
x = (-1 ± √(12 – 1 \cdot 4))⁄1 = -1 ± √(1 – 4) = -1 ± √(-3) = -1 ± √3i
3. 따라서 삼차방정식 x3 – 8 = 0의 해는 x = 2 또는 x = -1 + √3i 또는 x = -1 – √3i 입니다. (실근 1개, 허근 2개로 총 3개의 근)
인수분해 실력이 중요! 🚀
고차방정식을 잘 풀기 위해서는 다항식을 능숙하게 인수분해하는 실력이 필수적이에요. 앞에서 배웠던 다양한 인수분해 공식과 방법들(공통인수, 치환, 복이차식, 여러 문자 정리, 인수정리, 조립제법 등)을 다시 한번 복습하고 연습해두는 것이 좋아요!
🧐 개념확인 문제: 인수분해로 고차방정식 풀기!
이제 배운 원리를 적용해서 간단한 고차방정식을 풀어봅시다!
다음 방정식을 푸시오. (PDF 문제 활용)
- x3 + 27 = 0
- x3 – x2 – 6x = 0 (예시 변형)
정답 및 해설:
-
x3 + 27 = 0
좌변 x3 + 33을 인수분해하면 (x+3)(x2 – 3x + 9) = 0.
(i) x+3 = 0 ⇒ x = -3
(ii) x2 – 3x + 9 = 0. 근의 공식을 사용하면:
x = (-(-3) ± √((-3)2 – 4 \cdot 1 \cdot 9))⁄2 \cdot 1 = (3 ± √(9 – 36))⁄2 = (3 ± √(-27))⁄2 = (3 ± 3√3i)⁄2
따라서 해는 x = -3 또는 x = (3 + 3√3i)⁄2 또는 x = (3 – 3√3i)⁄2 입니다.
-
x3 – x2 – 6x = 0
먼저 공통인수 x로 묶으면: x(x2 – x – 6) = 0.
괄호 안의 이차식 x2 – x – 6을 인수분해하면 (곱해서 -6, 더해서 -1이 되는 수는 -3과 2):
x(x – 3)(x + 2) = 0.
따라서 각 인수가 0이 되는 경우는,
x = 0 또는 x – 3 = 0 (즉, x=3) 또는 x + 2 = 0 (즉, x=-2)
해는 x = 0 또는 x = 3 또는 x = -2 입니다.
고차방정식도 결국 인수분해를 통해 우리가 풀 수 있는 더 낮은 차수의 방정식(주로 일차 또는 이차)들로 바꾸어 해결하는 것이 핵심이에요! 😉
오늘은 3차 이상의 다항식으로 이루어진 고차방정식의 뜻과 그 풀이의 가장 기본적인 원리에 대해 배웠습니다. 핵심은 좌변의 고차식을 인수분해하여 각 인수가 0이 되는 값을 찾는 것이었죠? 이를 위해서는 앞에서 배운 다양한 인수분해 기술들을 잘 활용해야 합니다. 고차방정식은 복소수 범위에서 그 차수만큼의 근을 갖는다는 점도 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 인수분해 공식을 바로 적용하기 어려운 고차방정식을 인수정리와 치환을 이용하여 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다. 기대해주세요! 👍