이차함수 또는 이차식의 최대·최소를 구하는 고급 전략 두 가지는 다음과 같아요.

1. 완전제곱식을 이용한 최대·최소:
   • 주어진 식을 여러 개의 완전제곱식의 합 + 상수 꼴로 변형해요.
     (예: a(x-l)² + b(y-m)² + k)
   • (실수)² ≥ 0 임을 이용하여 최댓값 또는 최솟값을 구해요.
2. 판별식을 이용한 최대·최소:
   • 주어진 식을 한 문자에 대한 이차방정식 = 0 꼴로 정리해요. (다른 문자는 계수 취급)
   • 그 문자가 실수라는 조건으로부터, 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식 D ≥ 0임을 이용해요.
   • 이 부등식을 풀어서 다른 문자(또는 원래 구하려던 값)의 범위를 찾고, 그 범위로부터 최댓값 또는 최솟값을 구해요.

개념정리 63-1: 완전제곱식으로 묶어내기!

이차함수 y = ax²+bx+c의 최대·최소를 구할 때, y = a(x-p)²+q 꼴로 변형해서 (x-p)² \ge 0임을 이용했었죠? 이 아이디어를 확장하면, 변수가 x, y 두 개인 이차식 f(x,y)의 최댓값이나 최솟값도 구할 수 있어요.

만약 x, y에 대한 이차식 f(x,y)를 다음과 같은 형태로 변형할 수 있다면,

f(x,y) = A(x-l)² + B(y-m)² + k

(여기서 A, B, l, m, k는 상수)

(실수)² ≥ 0이라는 성질 때문에 (x-l)² \ge 0이고 (y-m)² \ge 0이에요. 이 성질을 이용하여 f(x,y)의 최댓값 또는 최솟값을 찾을 수 있습니다.

• 만약 A > 0 이고 B > 0 이면:
  A(x-l)² \ge 0 이고 B(y-m)² \ge 0이므로, f(x,y) \ge k가 됩니다.
  따라서 x=l, y=m일 때 최솟값 k를 가져요. (최댓값은 없겠죠?)
• 만약 A < 0 이고 B < 0 이면:
  A(x-l)² \le 0 이고 B(y-m)² \le 0이므로, f(x,y) \le k가 됩니다.
  따라서 x=l, y=m일 때 최댓값 k를 가져요. (최솟값은 없겠죠?)

개념정리 63-2: 실수 조건을 실근 조건으로!

이차함수 y = ax²+bx+c의 최대·최소를 구할 때, 이 식을 x에 대한 이차방정식 ax²+bx+(c-y)=0으로 보고, x가 실수이므로 이 방정식이 실근을 가져야 한다는 조건을 이용할 수도 있어요.

즉, x에 대한 이차방정식의 판별식 D \ge 0이어야 합니다.

이 방법을 확장하면, 이차방정식 f(x,y)=0을 만족시키는 실수 x 또는 y의 최댓값 또는 최솟값을 구할 때도 유용하게 사용될 수 있어요.

[판별식 이용 풀이 전략] (예: f(x,y)=0에서 y의 최대·최소 구하기)

1. 주어진 식 f(x,y)=0을 x에 대한 이차방정식으로 정리해요. (이때 y는 계수처럼 취급)
2. x가 실수이므로, 이 x에 대한 이차방정식이 실근을 가져야 해요.
3. 따라서 x에 대한 이차방정식의 판별식 D_x \ge 0 이라는 부등식을 세워요.
4. 이 부등식은 y에 대한 부등식이 될 것이고, 이 부등식을 풀어서 y의 값의 범위를 구하면 y의 최댓값 또는 최솟값을 알 수 있어요.

(만약 x의 최대·최소를 구하려면, 주어진 식을 y에 대한 이차방정식으로 정리하고 D_y \ge 0을 이용하면 되겠죠? )