x의 값의 범위가 α ≤ x ≤ β로 제한된 이차함수 f(x) = a(x-p)² + q의 최댓값과 최솟값은 다음 값들을 비교하여 결정해요.

1. 꼭짓점의 y좌표: f(p) = q (단, 꼭짓점의 x좌표 p가 주어진 범위 [α, β] 안에 있을 경우에만 후보가 됩니다.)
2. 범위의 양 끝에서의 함숫값 (경곗값): f(α)와 f(β)

이 세 값(또는 두 값) 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이 됩니다.

가장 중요한 것은 그래프를 간단하게 그려서 꼭짓점의 위치와 주어진 범위의 관계를 파악하는 것이에요!

개념정리 62-1: 꼭짓점과 범위의 양 끝 값을 주목하라!

실수 전체 범위에서 이차함수 y = a(x-p)² + q는

• a > 0 (아래로 볼록)이면 꼭짓점에서 최솟값 q를 갖고, 최댓값은 없었어요.
• a < 0 (위로 볼록)이면 꼭짓점에서 최댓값 q를 갖고, 최솟값은 없었죠.

하지만 x의 값의 범위가 α ≤ x ≤ β와 같이 제한되면, 우리는 이 주어진 구간 내에서만 함수의 값을 생각해야 해요. 따라서 최댓값과 최솟값이 항상 존재하게 됩니다.

이때 최댓값과 최솟값의 후보가 되는 지점은 다음 세 곳이에요:

1. 꼭짓점: 만약 꼭짓점의 x좌표 p가 주어진 범위 [α, β] 안에 포함된다면, 꼭짓점에서의 함숫값 f(p)가 최댓값 또는 최솟값의 후보가 됩니다.
2. 범위의 왼쪽 끝: x = α에서의 함숫값 f(α).
3. 범위의 오른쪽 끝: x = β에서의 함숫값 f(β).

이 값들을 비교하여 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 된답니다. 이차함수의 그래프를 그려서 생각하면 어떤 값이 최대 또는 최소가 될지 시각적으로 파악하기 쉬워요.

개념정리 62-2: α ≤ p ≤ β 인 경우

이차함수 f(x) = a(x-p)² + q에서 꼭짓점의 x좌표인 p가 주어진 범위 α ≤ x ≤ β 안에 포함될 때, 최댓값과 최솟값은 꼭짓점에서의 함숫값 f(p)와 범위의 양 끝에서의 함숫값 f(α), f(β)를 모두 비교하여 결정해요.

1. 아래로 볼록일 때 (a > 0)

• 최솟값: 항상 꼭짓점에서 발생하므로, f(p) = q 입니다.
• 최댓값: 범위의 양 끝 값 f(α)와 f(β) 중에서 더 큰 값입니다.

2. 위로 볼록일 때 (a < 0)

• 최댓값: 항상 꼭짓점에서 발생하므로, f(p) = q 입니다.
• 최솟값: 범위의 양 끝 값 f(α)와 f(β) 중에서 더 작은 값입니다.

개념정리 62-3: p < α 또는 p > β 인 경우

이차함수 f(x) = a(x-p)² + q에서 꼭짓점의 x좌표인 p가 주어진 범위 α ≤ x ≤ β 밖에 있을 때는, 꼭짓점이 우리가 고려하는 구간에 포함되지 않아요. 이 경우 최댓값과 최솟값은 범위의 양 끝에서의 함숫값 f(α)와 f(β) 중에서 결정됩니다.

• 최댓값: f(α)와 f(β) 중 더 큰 값.
• 최솟값: f(α)와 f(β) 중 더 작은 값.