057 이차방정식과 이차함수의 관계 (1): x축 교점의 비밀! 🌉
안녕하세요, 수학의 연결고리를 찾는 탐험가 친구들! 👋 우리는 지금까지 이차방정식을 푸는 방법과 이차함수의 그래프를 그리는 방법을 각각 배웠어요. 그런데 이 둘 사이에 아주 밀접한 관계가 있다는 사실, 알고 있었나요? 오늘은 바로 이차방정식과 이차함수의 그래프 사이의 관계, 그 첫 번째 이야기로 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점이 이차방정식의 해와 어떤 관련이 있는지 알아볼 거예요. 이 관계를 이해하면 그래프를 보고 방정식의 해를 예측하거나, 방정식의 해를 통해 그래프의 개형을 그리는 데 큰 도움을 받을 수 있답니다! 마치 다리처럼 이 둘을 연결해주는 비밀을 함께 파헤쳐 볼까요? 🔗
📝 핵심만정리: 이차방정식의 실근과 이차함수 그래프의 x축 교점!
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축 (y=0인 직선) 사이에는 다음과 같은 중요한 관계가 있어요.
- 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는,
이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 실근과 같아요. - 따라서, 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축의 교점의 개수는,
이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 서로 다른 실근의 개수와 같아요.
즉, 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점을 찾고 싶다면, 해당 이차함수 식에서 y=0으로 놓고 이차방정식을 풀어 그 실근을 찾으면 되는 것이고, 그 실근의 개수가 바로 x축과의 교점 개수가 되는 것이죠!
📍 교점의 x좌표가 바로 실근이다!
개념정리 57-1: y=0일 때의 x값 찾기
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프가 x축과 만나는 점을 생각해 봅시다. x축 위에 있는 모든 점들은 y좌표가 0이라는 공통점이 있죠? 즉, x축은 직선 y=0으로 표현할 수 있어요.
따라서 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 찾는다는 것은, 함수식 y = ax2 + bx + c에서 y=0일 때의 x의 값을 찾는 것과 같아요.
y=0을 대입하면, 식은 0 = ax2 + bx + c, 즉 ax2 + bx + c = 0이 됩니다. 어? 이건 바로 우리가 풀어왔던 이차방정식의 형태죠!
결국, 이 이차방정식의 실근이 바로 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 되는 것이랍니다. 만약 이 방정식이 허근을 갖는다면, 그것은 그래프가 x축과 만나지 않는다는 것을 의미해요 (허수는 수직선 위에 나타낼 수 없으니까요!).
예시: 이차함수 y = x2 + x – 2의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 구해봅시다.
그래프와 x축의 교점에서는 y=0이므로, x2 + x – 2 = 0 이라는 이차방정식을 풀면 돼요.
좌변을 인수분해하면 (x+2)(x-1) = 0.
따라서 x+2=0 또는 x-1=0 이므로, x=-2 또는 x=1.
이 두 값 -2와 1이 바로 이차함수 y = x2 + x – 2의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표들입니다. 즉, 교점은 (-2, 0)과 (1, 0)이 되는 거죠.
↔️ 교점의 개수와 실근의 개수는 같다!
개념정리 57-2: 판별식 D로 한 번에 파악!
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 실근과 같다는 사실을 이용하면, 교점의 개수 또한 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같다는 것을 알 수 있어요.
그리고 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수는 무엇으로 판별했었죠? 바로 판별식 D = b2 – 4ac였죠!
따라서, 이차함수 그래프와 x축의 교점의 개수는 해당 이차방정식의 판별식 D의 부호로 다음과 같이 알 수 있습니다. (다음 포스팅 “058 이차방정식의 해와 이차함수의 그래프”에서 더 자세히 다룰 예정이지만, 여기서 미리 살짝 맛보는 거예요!)
- D > 0 ⇒ 서로 다른 두 실근 ⇒ x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
- D = 0 ⇒ 중근 (서로 같은 두 실근, 즉 실근 1개) ⇒ x축과 한 점에서 만난다 (접한다).
- D < 0 ⇒ 서로 다른 두 허근 (실근 없음) ⇒ x축과 만나지 않는다.
🧐 개념확인 문제: 교점 x좌표 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표를 구해봅시다!
다음 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 모두 구하시오. (PDF 문제 활용)
- y = x2 – 5x + 6 (예시 변경)
- y = -x2 + 4x – 4
정답 및 해설:
그래프가 x축과 만나는 점에서는 y=0입니다.
-
x2 – 5x + 6 = 0
좌변을 인수분해하면 (x-2)(x-3) = 0
따라서 x-2=0 또는 x-3=0
x축과 만나는 점의 x좌표는 2, 3 입니다. (교점: (2,0), (3,0))
-
-x2 + 4x – 4 = 0
양변에 -1을 곱하면 x2 – 4x + 4 = 0
좌변을 인수분해하면 (x-2)2 = 0
따라서 x-2=0
x축과 만나는 점의 x좌표는 2 (중근) 입니다. (교점: (2,0), 그래프가 x축에 접함)
이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점은 f(x)=0이라는 이차방정식의 실근과 같다는 점, 꼭 기억해주세요! 이 관계는 앞으로 이차부등식을 풀 때도 아주 중요하게 사용된답니다. 😉
오늘은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 바로 이차방정식의 실근과 같다는 중요한 관계를 배웠습니다. 이 관계를 통해 이차함수의 그래프와 이차방정식의 해가 서로 어떻게 연결되는지 이해할 수 있었죠? 이 내용은 다음 시간에 배울 판별식을 이용한 그래프와 x축의 위치 관계 판단으로 자연스럽게 이어집니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이 관계를 판별식과 연결하여 더 자세히 알아보겠습니다! 📈