055 이차함수의 계수의 부호 결정: 그래프 모양과 위치로 추리하기! 🤔
안녕하세요, 그래프를 읽는 명탐정 친구들! 👋 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프를 보면, 그 모양과 위치로부터 계수 a, b, c의 부호(플러스인지 마이너스인지)를 추리해낼 수 있다는 사실, 알고 있었나요? 오늘은 마치 탐정이 단서를 찾아내듯, 이차함수 그래프의 특징들을 살펴보고 각 계수의 부호를 결정하는 방법을 알아볼 거예요. 이 방법을 익히면 그래프만 보고도 이차함수 식에 대한 많은 정보를 얻을 수 있답니다! 함께 추리 게임을 시작해 볼까요? 🕵️
📝 핵심만정리: 계수의 부호, 이렇게 결정해요!
이차함수 y = ax2 + bx + c (a \neq 0)의 그래프를 보고 계수 a, b, c의 부호를 결정할 때는 다음 세 가지를 주로 살펴봐요.
- a의 부호: 그래프의 모양(볼록 방향)으로 결정해요.
- 아래로 볼록 (∪ 모양) ⇒ a > 0 (양수)
- 위로 볼록 (∩ 모양) ⇒ a < 0 (음수)
- c의 부호: 그래프와 y축의 교점(y절편)의 위치로 결정해요.
- y절편이 y축의 양의 부분에 있으면 ⇒ c > 0
- y절편이 원점이면 ⇒ c = 0
- y절편이 y축의 음의 부분에 있으면 ⇒ c < 0
- b의 부호: 축의 방정식(x = –b⁄2a)의 위치와 이미 알아낸 a의 부호를 함께 이용하여 결정해요.
- 축이 y축 왼쪽에 있으면 (–b⁄2a < 0) ⇒ a와 b의 부호가 같다. (같을 左)
- 축이 y축 오른쪽에 있으면 (–b⁄2a > 0) ⇒ a와 b의 부호가 다르다. (다를 右)
- 축이 y축과 일치하면 (–b⁄2a = 0) ⇒ b = 0.
🔎 a의 부호: 그래프의 볼록 방향을 보라!
개념정리 55-1: a가 모양을 결정한다!
이차함수 y = ax2 + bx + c에서 x2의 계수인 a는 그래프의 전체적인 모양, 특히 볼록한 방향을 결정해요.
- 만약 그래프가 아래로 볼록한 모양 (∪, 웃는 입 모양)이라면, a > 0 (즉, a는 양수)입니다.
- 만약 그래프가 위로 볼록한 모양 (∩, 찡그린 입 모양)이라면, a < 0 (즉, a는 음수)입니다.
가장 먼저 그래프의 볼록 방향을 보고 a의 부호를 쉽게 판단할 수 있어요!
📍 c의 부호: y절편의 위치를 확인하라!
개념정리 55-2: c는 y축과의 만남!
이차함수 y = ax2 + bx + c에서 상수항인 c는 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표, 즉 y절편을 의미해요.
y절편을 구하려면 식에 x=0을 대입하면 되죠? y = a(0)2 + b(0) + c = c. 따라서 y절편은 항상 c입니다.
- 그래프가 y축과 양의 부분에서 만나면 (y절편 > 0), c > 0 (양수)입니다.
- 그래프가 원점에서 y축과 만나면 (y절편 = 0), c = 0 입니다.
- 그래프가 y축과 음의 부분에서 만나면 (y절편 < 0), c < 0 (음수)입니다.
↔️ b의 부호: 축의 위치와 a의 부호를 함께 보라!
개념정리 55-3: b는 혼자 결정되지 않아요!
이차함수 y = ax2 + bx + c에서 x의 계수인 b의 부호는 그래프의 대칭축의 위치와 관련이 깊어요. 이차함수의 축의 방정식은 x = –b⁄2a 였죠?
이 축의 위치와 이미 알아낸 a의 부호를 함께 고려하여 b의 부호를 판단합니다.
- 축이 y축의 왼쪽에 있을 때: –b⁄2a < 0 이라는 뜻이에요.
이 부등식의 양변에 -2a를 곱하면 부등호 방향이 바뀔 수 있으니 주의해야 하지만, 더 쉽게는 b⁄2a > 0, 즉 b와 2a의 부호가 같다는 의미예요. 2는 양수이므로, 결국 a와 b의 부호가 같다는 것을 알 수 있어요. (예: a가 양수면 b도 양수, a가 음수면 b도 음수)
(암기 팁: 축이 왼쪽에 있으면 a, b 부호 ‘같다’ – ‘같을 좌(左)’로 연상!) - 축이 y축의 오른쪽에 있을 때: –b⁄2a > 0 이라는 뜻이에요.
이는 b⁄2a < 0, 즉 b와 2a의 부호가 다르다는 의미예요. 결국 a와 b의 부호가 다르다는 것을 알 수 있어요. (예: a가 양수면 b는 음수, a가 음수면 b는 양수)
(암기 팁: 축이 오른쪽에 있으면 a, b 부호 ‘다르다’ – ‘다를 우(右)’로 연상! …는 억지지만 기억에 도움이 된다면!) - 축이 y축과 일치할 때: –b⁄2a = 0 이라는 뜻이에요.
분자가 0이어야 하므로, b = 0 입니다.
a+b+c나 a-b+c의 부호는 어떻게 알까요?
이런 값들의 부호는 x=1일 때의 함숫값 f(1) = a+b+c나 x=-1일 때의 함숫값 f(-1) = a-b+c를 그래프에서 읽어서 판단할 수 있어요! (예: x=1일 때 y값이 양수이면 a+b+c > 0)
🧐 개념확인 문제: 그래프 보고 계수 부호 맞추기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 이차함수 그래프를 보고 계수의 부호를 정확히 판단해 봅시다!
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프가 다음 그림과 같을 때, a, b, c 및 a+b+c의 부호를 정하시오. (PDF 그림과 유사한 상황 가정)
정답 및 해설: (위 그림 설명을 바탕으로)
- (1) a의 부호: 그래프가 아래로 볼록하므로, a > 0 (양수) 입니다.
- (2) c의 부호: 그래프가 y축과 만나는 점(y절편)이 x축보다 아래쪽(음의 부분)에 있으므로, c < 0 (음수) 입니다.
- (3) b의 부호:
- a > 0 (양수) 입니다.
- 그래프의 대칭축(x = –b⁄2a)이 y축의 오른쪽에 있으므로, –b⁄2a > 0 입니다.
- a가 양수이므로 2a도 양수입니다. 따라서 -b가 양수여야 하고, 이는 b가 음수임을 의미합니다.
- 즉, a와 b의 부호가 다르므로 b < 0 (음수) 입니다.
- (4) a+b+c의 부호:
a+b+c는 이차함수 f(x) = ax2+bx+c에서 x=1일 때의 함숫값 f(1)과 같아요.
만약 위 예시 그래프에서 x=1일 때의 y값이 x축보다 아래쪽(음수)에 있다면, f(1) < 0이므로 a+b+c < 0 입니다. (만약 x=1에서 y값이 양수면 a+b+c > 0)
그래프의 모양, 축의 위치, y절편, 그리고 특정 x값에서의 함숫값 등을 통해 계수의 부호나 식의 값의 부호를 추리할 수 있답니다! 😉
오늘은 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프를 보고 각 계수 a, b, c의 부호를 결정하는 방법에 대해 배웠습니다. a는 그래프의 볼록 방향으로, c는 y절편의 위치로, 그리고 b는 축의 위치와 a의 부호를 함께 고려하여 판단했죠? 이처럼 그래프의 시각적인 정보는 함수식에 대한 많은 비밀을 담고 있답니다. 오늘 배운 내용을 잘 기억해서 이차함수 그래프 해석의 달인이 되어보세요! 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 주어진 조건으로부터 이차함수의 식을 직접 결정하는 방법에 대해 알아보겠습니다! 🧩