048 이차식이 완전제곱식이 될 조건: 판별식 D=0의 비밀! 🎯
안녕하세요, 수학의 패턴을 찾아내는 탐험가 친구들! 👋 우리가 이차방정식의 근을 판별할 때 사용했던 ‘판별식 D’ 기억나죠? 이 판별식은 단순히 근의 종류를 알려주는 것뿐만 아니라, 어떤 이차식이 완전제곱식이 될 수 있는지 없는지를 판단하는 데에도 아주 유용하게 사용된답니다! 오늘은 이차식 ax2+bx+c가 (어떤 일차식)2 꼴, 즉 완전제곱식이 되기 위한 특별한 조건이 무엇인지, 그리고 그 조건이 왜 판별식 D=0과 관련되는지 함께 알아볼 거예요. 이 비밀을 알면 이차식을 보는 눈이 한층 더 날카로워질 거예요! ✨
📝 핵심만정리: 이차식이 완전제곱식이 되려면?
x에 대한 이차식 ax2 + bx + c (단, a, b, c는 실수이고 a ≠ 0)가 완전제곱식이 될 필요충분조건은 바로 이 이차식으로 만든 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 판별식 D가 0이 되는 것이에요!
이차식 ax2 + bx + c가 완전제곱식이다 ⇔ 판별식 D = b2 – 4ac = 0
이것은 이차방정식이 중근을 가질 조건과 똑같다는 것을 의미해요. 왜냐하면 이차식이 완전제곱식 a(x-p)2 꼴로 표현된다면, 이차방정식 a(x-p)2 = 0은 x=p라는 중근을 갖기 때문이죠!
🤔 완전제곱식이란 무엇일까요? (복습)
개념정리 48-1: (일차식)2 꼴!
완전제곱식이란, 어떤 다항식(주로 일차식)의 제곱으로 표현되는 식을 말해요. 예를 들어,
- (x+3)2 = x2 + 6x + 9
- (2x-1)2 = 4x2 – 4x + 1
- a(x-p)2 (단, a는 0이 아닌 상수)
이런 형태들이 모두 완전제곱식이에요. 이차식 ax2+bx+c가 완전제곱식이 된다는 것은, 이 식이 a(x-p)2 (또는 a(x+p)2)와 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 뜻이랍니다.
완전제곱식은 인수분해, 이차함수의 꼭짓점 찾기 등 다양한 곳에서 중요하게 활용되는 형태예요!
🎯 이차식이 완전제곱식이 될 조건: D = 0의 비밀!
개념정리 48-2: 판별식과의 연결고리
이차식 ax2 + bx + c가 완전제곱식이 된다는 것은 어떤 의미일까요? 이것은 이 이차식을 0으로 놓은 이차방정식 ax2 + bx + c = 0이 중근을 갖는다는 말과 같아요.
왜냐하면, 만약 이차식이 a(x-p)2라는 완전제곱식 꼴이라면, 방정식 a(x-p)2 = 0은 a \neq 0이므로 (x-p)2 = 0, 즉 x-p = 0이 되어 x=p라는 중근을 갖게 되죠.
그리고 우리가 이차방정식의 근을 판별할 때, 중근을 가질 조건이 바로 판별식 D = b2 – 4ac = 0 이었어요!
따라서, 이차식 ax2 + bx + c가 완전제곱식이 되기 위한 필요충분조건은 그 판별식 D = b2 – 4ac = 0이 되는 것이랍니다.
조금 더 자세히 살펴보면, 이차식 ax2+bx+c를 완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같아요. (이 과정은 근의 공식을 유도할 때도 나왔었죠?)
ax2 + bx + c = a(x2 + b⁄ax) + c
= a(x2 + b⁄ax + (b⁄2a)2 – (b⁄2a)2) + c
= a(x + b⁄2a)2 – a(b⁄2a)2 + c
= a(x + b⁄2a)2 – b2⁄4a + c
= a(x + b⁄2a)2 – (b2 – 4ac)⁄4a
이 식이 완전제곱식 a(x-p)2 꼴이 되려면, 뒤에 붙은 상수항 부분인 – (b2 – 4ac)⁄4a가 0이 되어야 해요. 분모 4a는 0이 아니므로, 결국 분자인 b2 – 4ac = 0 이어야 한다는 결론이 나옵니다!
기억하세요! 💡
“이차식이 완전제곱식이다.” ⇔ “이차방정식 =0이 중근을 갖는다.” ⇔ “판별식 D=0이다.”
이 세 가지는 항상 함께 따라다니는 짝꿍들이에요!
🧐 개념확인 문제: 완전제곱식 만들기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 이차식이 완전제곱식이 되도록 하는 미지의 값을 구해봅시다!
다음 이차식이 완전제곱식이 되도록 하는 실수 k의 값을 구하시오. (PDF 문제 활용)
- x2 + (k+3)x + 4(k-1)
- x2 – 2(k+1)x + k2 + 4k + 5
정답 및 해설:
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면, 이 이차식=0으로 놓은 이차방정식의 판별식 D=0이어야 합니다.
-
x2 + (k+3)x + 4(k-1)
여기서 a=1, b=(k+3), c=4(k-1) 입니다.
판별식 D = (k+3)2 – 4 \cdot 1 \cdot 4(k-1) = 0
(k2 + 6k + 9) – 16(k-1) = 0
k2 + 6k + 9 – 16k + 16 = 0
k2 – 10k + 25 = 0
(k-5)2 = 0
따라서 k = 5 입니다.
-
x2 – 2(k+1)x + k2 + 4k + 5
여기서 x의 계수가 -2(k+1)로 짝수이므로 짝수 판별식 D/4 = b’2 – ac = 0을 사용할 수 있어요.
a=1, b’=-(k+1), c=k2 + 4k + 5 입니다.
D/4 = (-(k+1))2 – 1 \cdot (k2 + 4k + 5) = 0
(k+1)2 – (k2 + 4k + 5) = 0
(k2 + 2k + 1) – k2 – 4k – 5 = 0
-2k – 4 = 0
-2k = 4
따라서 k = -2 입니다.
이차식이 완전제곱식이 된다는 조건은 판별식을 이용하여 미지의 계수를 찾는 문제로 자주 등장하니, 그 관계를 확실히 이해해두세요! 😉
오늘은 이차식 ax2+bx+c가 완전제곱식이 되기 위한 조건이 이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식 D=b2-4ac가 0이 되는 것과 같다는 중요한 사실을 배웠습니다. 이는 이차방정식이 중근을 가질 조건과 동일하다는 것도 알게 되었죠? 이 관계를 잘 이해하고 활용하면 이차식과 이차방정식 관련 문제 해결 능력이 한층 더 향상될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식의 근과 계수 사이에 어떤 비밀스러운 관계가 있는지 알아보겠습니다. 기대해주세요! 🤓