047 계수가 허수인 이차방정식의 근의 판별: 판별식 D, 함부로 쓰면 안 돼요! ⚠️
안녕하세요, 수학의 함정을 피하는 탐험가 친구들! 👋 우리는 이차방정식의 근을 판별할 때 판별식 D = b2 – 4ac를 유용하게 사용했어요. D의 부호에 따라 실근인지 허근인지, 중근인지 알 수 있었죠. 그런데 이 판별식에는 아주 중요한 사용 조건이 있었답니다. 바로 이차방정식의 계수 a, b, c가 모두 실수일 때만 정확하다는 것이에요! 오늘은 만약 이차방정식의 계수 중에 허수가 포함되어 있다면 판별식을 함부로 사용할 수 없는 이유와, 그런 경우 어떤 일이 벌어지는지 함께 알아볼 거예요. 특강 내용이니만큼 집중해서 따라와 주세요! 🚨
📝 핵심만정리: 허수 계수 이차방정식과 판별식의 한계!
- 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 근을 판별하는 판별식 D = b2 – 4ac는 계수 a, b, c가 모두 실수일 때에만 유효합니다.
- 계수 중에 허수가 포함된 이차방정식의 경우:
- 판별식 D > 0 이더라도 서로 다른 두 허근을 가질 수 있어요.
- 판별식 D = 0 이더라도 서로 같은 두 허근 (허수인 중근)을 가질 수 있어요. 그 근이 반드시 실근인 중근이라고 할 수 없습니다.
- 따라서, 계수가 허수인 이차방정식의 근은 판별식만으로는 정확히 판별할 수 없으며, 근의 공식을 직접 사용하여 근의 종류를 확인해야 합니다.
🤔 판별식, 왜 허수 계수에는 안 통할까요?
개념정리 47-1: 근의 공식과 판별식 D의 관계 다시 보기
판별식 D = b2 – 4ac는 근의 공식 x = (-b ± √D)⁄2a의 루트 안 부분이죠.
계수 a, b, c가 모두 실수일 때는 다음과 같은 논리가 성립했어요:
- D > 0이면 √D는 0이 아닌 실수. 따라서 x는 -b ± (실수)를 2a(실수)로 나눈 것이므로 서로 다른 두 실근이 됩니다.
- D = 0이면 √D = 0. 따라서 x = -b⁄2a라는 실근(중근)이 됩니다.
- D < 0이면 √D는 순허수. 따라서 x는 -b ± (순허수)를 2a(실수)로 나눈 것이므로 서로 다른 두 허근이 됩니다.
하지만, 계수 a, b, c 중에 허수가 포함되면 이야기가 달라져요.
- 예를 들어, b가 허수라면 -b 부분부터 이미 허수가 될 수 있어요.
- D = b2 – 4ac의 값이 양수라고 해도, √D가 실수가 될 수는 있지만, -b ± √D 부분이 전체적으로 허수가 될 수 있습니다.
- 또한, 2a 부분도 a가 허수면 허수가 될 수 있어 전체적인 근의 형태가 복잡해지죠.
결국, 계수에 허수가 포함되면 판별식 D의 부호만으로는 근이 실수인지 허수인지, 또는 중근의 형태가 어떠한지를 정확하게 예측할 수 없게 되는 거예요.
💔 허수 계수 이차방정식: 판별식의 배신!
개념정리 47-2: 판별식 결과와 실제 근이 다른 경우
실제 예시를 통해 계수가 허수일 때 판별식이 어떻게 우리를 혼란스럽게 하는지 살펴볼게요.
예시 1: D > 0이지만 허근을 갖는 경우
이차방정식 x2 – 3ix – 3 = 0 (계수 b=-3i가 허수)
판별식 D = (-3i)2 – 4(1)(-3) = 9i2 + 12 = -9 + 12 = 3.
판별식 D=3 > 0이므로, 실수 계수였다면 서로 다른 두 실근을 가졌겠죠? 하지만 근의 공식을 사용해 보면:
x = (-(-3i) ± √3)⁄2(1) = (3i ± √3)⁄2
즉, 해는 x = √3⁄2 + 3⁄2i 또는 x = –√3⁄2 + 3⁄2i 로, 서로 다른 두 허근을 갖습니다!
예시 2: D = 0이지만 허수인 중근을 갖는 경우
이차방정식 x2 + 2ix – 1 = 0 (계수 b=2i가 허수)
짝수 판별식을 사용하면 (b’=i), D/4 = (i)2 – (1)(-1) = -1 – (-1) = 0.
판별식 D/4 = 0이므로, 실수 계수였다면 실근인 중근을 가졌겠죠? 하지만 근의 공식을 사용해 보면:
x = (-i ± √0)⁄1 = -i
즉, 해는 x = -i 로, 허수인 중근을 갖습니다!
🛠️ 그럼 허수 계수 이차방정식은 어떻게 풀어야 할까요?
핵심 전략: 근의 공식을 사용하라!
계수에 허수가 포함된 이차방정식의 근의 종류를 정확히 알고 싶다면, 판별식에 의존해서는 안 돼요. 가장 확실한 방법은 근의 공식을 직접 사용하여 근을 구해보는 것입니다.
근의 공식을 통해 얻어진 근의 형태를 보고 그것이 실수인지, 허수인지, 중복되는지를 판단해야 합니다.
기억하세요!
이차방정식의 판별식 D = b2-4ac는 계수 a, b, c가 모두 실수라는 강력한 전제 조건 하에서만 그 의미를 제대로 발휘합니다. 이 조건을 항상 확인하는 습관을 들이세요!
오늘은 이차방정식의 계수가 허수일 때 판별식을 사용하면 안 되는 이유와 그 실제 사례들을 살펴보았습니다. 판별식 D가 양수여도 허근을 가질 수 있고, D가 0이어도 허수인 중근을 가질 수 있다는 점이 매우 중요했죠? 따라서 계수에 허수가 보인다면, 근의 종류를 판별하기 위해 반드시 근의 공식을 직접 사용해야 한다는 것을 명심하세요! 오늘도 어려운 내용을 공부하느라 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차식이 완전제곱식이 될 조건에 대해 알아보겠습니다. 😊